Skip to main content

Теория: Определение вероятности, сумма и произведение событий

Задание

В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в "Шеш-беш": гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 6\) очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

0,11
Решение

Введём события: 

  • \(\displaystyle A \) – комбинация \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 6\) выпала в первой попытке,
  • \(\displaystyle B\) – комбинация \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 6\) выпала во второй попытке, 
  • \(\displaystyle C\) – гость получил комплимент от ресторана.

Тогда событие \(\displaystyle C\) произойдёт, если наступит хотя бы одно из событий \(\displaystyle A \) или \(\displaystyle B{\small :}\)

\(\displaystyle C=A+B{\small .}\)

Найдем вероятности событий.

Воспользуемся классическим определением вероятности.

Правило

Классическое определение вероятности

\(\displaystyle P(A)=\frac{\text{число благоприятных элементарных событий}}{\text{число всех элементарных событий}}\)

Найдём число всех элементарных событий.

Каждому из \(\displaystyle 6\) различных вариантов числа выпавших очков при первом броске соответствует \(\displaystyle 6\) вариантов при втором броске.

Поэтому общее количество вариантов (комбинаций числа выпавших очков) при двух бросках составит

  \(\displaystyle 6\cdot6=36{\small .}\)


Выберем из них варианты, благоприятные событию \(\displaystyle A{ \small ,}\) – выпала комбинация \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 6{\small.}\)

Просто выпишем их:

  • \(\displaystyle \color{blue}{5}\) и \(\displaystyle \color{Magenta}6{\small ;}\)
  • \(\displaystyle \color{blue}6\) и \(\displaystyle \color{Magenta}5{\small .}\)

Получили \(\displaystyle 2\) варианта.


Итак, число всех элементарных событий равно \(\displaystyle \color{green}{36}{\small .}\) 

Число элементарных событий, благоприятных событию  \(\displaystyle A{\small ,}\) равно \(\displaystyle \color{red}{2}.\)

Найдём вероятность \(\displaystyle P(A)\) наступления события \(\displaystyle A\) по формуле классической вероятности. 

\(\displaystyle P(A)=\frac{\color{red}{2}}{\color{green}{36}}=\frac{1}{18}\). 


Вероятность события \(\displaystyle B\) найдём точно так же:  

\(\displaystyle P(B)=P(A)=\frac{\color{red}{2}}{\color{green}{36}}=\frac{1}{18}\).


Найдем вероятность события \(\displaystyle C{\small :}\)

\(\displaystyle P(C)=P(A+B){\small .}\)

Используем формулу

Правило

Вероятность суммы совместных событий

\(\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A \cdot B){\small .}\)

Значит,

\(\displaystyle P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A \cdot B){\small ,}\)

где \(\displaystyle P(A \cdot B)\) – вероятность одновременного наступления событий \(\displaystyle A \) и \(\displaystyle B{\small .}\)

События \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) независимы, то есть наступление одного из событий никак не влияет на вероятность наступления другого. Поэтому используем правило:

Правило

Формула произведения вероятностей

Если события  \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) независимы, то есть наступление одного из событий никак не влияет на вероятность наступления другого события, то вероятность их одновременного наступления равна

\(\displaystyle P(A \cdot B)=P(A) \cdot P(B){\small .}\)

Получаем:

\(\displaystyle P(A \cdot B)=P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{18}=\frac{1}{324}{\small .}\)

Тогда 

\(\displaystyle \begin{aligned}P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A \cdot B)&=\frac{1}{18}+\frac{1}{18}-\frac{1}{324}=\\[10px]&=\frac{18+18-1}{324}=\frac{35}{324}\approx0{,}11{\small .}\end{aligned}\)


Ответ: \(\displaystyle 0{,}11{\small .}\)