Skip to main content

Теория: Степень в степени

Задание

1. Свойство произведения степеней:

Правило

Степень в степени

Для любого числа \(\displaystyle a\) и любых натуральных чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется

\(\displaystyle {\bf \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}}.\)

2. Равенство единице:

Правило

\(\displaystyle {\bf a^{\,x}=1}\) для любого положительного числа \(\displaystyle a,\) не равного единице, в том и только в том случае, когда \(\displaystyle {\bf x=0}.\)

3. Равенство степеней:

Правило

\(\displaystyle {\bf a^{\,x}=a^{\,y}}\) для любого положительного числа \(\displaystyle a,\) не равного единице, в том и только в том случае, когда \(\displaystyle {\bf x=y}.\)

Решение

1. Свойство произведения степеней.

Правило

Степень в степени

Для любого числа \(\displaystyle a\) и любых натуральных чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется

\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}.\)

Доказательство.

Для того чтобы доказать данное правило (формулу), воспользуемся определением степени числа:

\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=\underbrace{a^{\,n}\ldots a^{\,n}}_{m\, раз}=a^{\,\underbrace{n+\ldots+n}_{m\, раз}}=a^{nm}.\)

 

2. Равенство единице.

Правило

 \(\displaystyle {\bf a^{\,x}=1}\) для каждого ненулевого и не равного единице числа \(\displaystyle a\) в том и только в том случае, когда \(\displaystyle {\bf x=0}.\)

Доказательство.

В начале заметим, что любое ненулевое число \(\displaystyle a^{\,0}=1\) (по определению). Мы хотим убедиться, что других возможностей нет.

Так как это верно для любого числа \(\displaystyle a,\) то это будет верно, например, и для \(\displaystyle a=2.\)  Заметим, что

\(\displaystyle 2^{\, {\bf 0}}=1,\,\, 2^{\, {\bf 1}}=2,\,\, 2^{\, {\bf 2}}=4,\,\, 2^{\, {\bf 3}}=8,\,\, 2^{\, {\bf 4}}=16,\ldots\)

Из данного ряда следует, что только \(\displaystyle 2^{\,0}=1,\) поэтому единственная возможность \(\displaystyle x=0.\)

 

3. Равенство степеней.

Правило

\(\displaystyle {\bf a^{\,x}=a^{\,y}}\) для любого ненулевого и не равного единице числа  \(\displaystyle a\) в том и только в том случае, когда  \(\displaystyle {\bf x=y}.\)

Доказательство.

Разделим обе части равенства \(\displaystyle a^{\,x}=a^{\,y}\) на ненулевое выражение \(\displaystyle a^{\, y}:\)

\(\displaystyle \frac{a^{\,x}}{a^{\,y}}=1,\)

\(\displaystyle a^{\,x-y}=1.\)

Используя п.2 "Равенство единице", получаем:

\(\displaystyle x-y=0.\)

Таким образом, \(\displaystyle x=y.\)