Разложите на множители:
\(\displaystyle 18ab+3ac-24b^{\,2}-4bc=\big(\)\(\displaystyle \big)\big(\)\(\displaystyle \big)\)
Сначала выберем параметр, который встречается в половине слагаемых (то есть в нашем случае – дважды). Пусть, например, это будет параметр \(\displaystyle a.\) Сгруппируем все члены с данным параметром в одни скобки, а остальные – в другие:
\(\displaystyle 18\color{red}{a}b+3\color{red}{a}c-24b^{\,2}-4bc=(18\color{red}{a}b+3\color{red}{a}c\,)+(-24b^{\,2}-4bc\,).\)
Найдем общий множитель для выражения в первых скобках \(\displaystyle (18ab+3ac\,)\) (которое, как мы решили, содержит параметр \(\displaystyle a\)).
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 18\) и \(\displaystyle 3\) равен \(\displaystyle 3.\)
- Общий параметр у выражений \(\displaystyle ab\) и \(\displaystyle ac\) – это параметр \(\displaystyle a.\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle 18ab+3ac\) равен \(\displaystyle 3a.\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle 18ab+3ac=3a\,(6b+c\,).\)
Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках \(\displaystyle (-24b^{\,2}-4bc\,)\).
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 24\) и \(\displaystyle 4\) равен \(\displaystyle 4.\)
- Общий параметр у выражений \(\displaystyle b^{\,2}\) и \(\displaystyle bc\) – это параметр \(\displaystyle b.\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle -24b^{\,2}-4bc\) равен \(\displaystyle 4b.\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle -24b^{\,2}-4bc=4b\,(-6b-c\,).\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle (18ab+3ac\,)+(-24b^{\,2}-4bc\,)= 3a\,(6b+c\,)+4b\,(-6b-c\,).\)
Заметим, что множители \(\displaystyle (6b+c\,)\) и \(\displaystyle (-6b-c\,)\) отличаются только знаком, то есть
\(\displaystyle (-6b-c\,)=-(6b+c\,).\)
Поэтому заменим множитель \(\displaystyle (-6b-c\,)\) на \(\displaystyle -(6b+c\,)\):
\(\displaystyle \begin{array}{l}3a\,(6b+c\,)+4b\,\color{red}{(-6b-c\,)}= \\[10px]\kern{5em} =3a\,(6b+c\,)+4b\,\color{red}{\Big(-(6b+c\,)\Big)}= \\[10px]\kern{10em} =3a\,(6b+c\,)-4b\,(6b+c\,).\end{array}\)
Теперь заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель \(\displaystyle (6b+c\,).\) Значит, его можно вынести за скобки:
\(\displaystyle 3a\,\color{blue}{(6b+c\,)}-4b\,\color{blue}{(6b+c\,)}=\color{blue}{(6b+c\,)} (3a-4b\,).\)
Таким образом,
\(\displaystyle 18ab+3ac-24b^{\,2}-4bc=(6b+c\,) (3a-4b\,).\)
Ответ: \(\displaystyle (6b+c\,) (3a-4b\,).\)