Skip to main content

Теория: Нахождение разности кубов

Задание

Найдите произведение выражений, используя формулу "разность кубов":
 

\(\displaystyle (u-w\,)(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})=\)  
u^3-w^3


Для ввода степени используйте специальное меню, расположенное справа в ячейке ввода.

Решение

Правило

Разность кубов

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).\)

Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:

\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)

 

Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\\color{blue}{(u-w\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\\color{green}{(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})}\end{array}\begin{array}{l}=a^{\,3}-b^{\,3},\\=\,?\end{array}\end{aligned}\)

Можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:

\(\displaystyle \begin{aligned}\color{blue}{(u-w\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\\color{green}{(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}.\end{aligned}\)

Данные равенства верны при \(\displaystyle a=u\) и \(\displaystyle b=w.\) Следовательно,

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\{\small |\;|}\\\color{blue}{(u-w\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\{\small |\;|}\\\color{green}{(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})}\end{array}\begin{array}{c}=\\\phantom{=}\\=\end{array}\begin{array}{c}\color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\{\small |\;|}\\\color{red}{u^{\,3}-w^{\,3}}\end{array}\end{aligned}\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle (u-w\,)(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})=u^{\,3}-w^{\,3}.\)

Ответ: \(\displaystyle {\bf u}^{\,3}-{\bf w}^{\,3}.\)
 

Замечание / комментарий

Неполный квадрат суммы

Выражение

\(\displaystyle a^{\,2}+ab+b^{\,2}\)

называется неполным квадратом суммы параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)