Skip to main content

Теория: НОК и разложение на простые множители

Задание

Найти наименьшее общее кратное (НОК) для чисел \(\displaystyle 2^3\cdot 11^{5}\) и \(\displaystyle 2^{7}\cdot 7^{10}\), заполнив показатели степеней:

 

\(\displaystyle \text{НОК}(2^3\cdot 11^{5}, 2^{7}\cdot 7^{10})\)\(\displaystyle =\)\(\displaystyle 2\)

 

\(\displaystyle \cdot\)\(\displaystyle 7\)

 

\(\displaystyle \cdot\)\(\displaystyle 11\)

 

 

Решение

Определение

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел – это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

 

Правило

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, разложенных на простые множители, надо:

1) выбрать все простые множители в наибольших степенях;

2) произведение этих множителей и будет наименьшим общим кратным двух чисел.

 

1. Выпишем простые множители двух чисел.

Простые множители числа \(\displaystyle 2^3\cdot 11^{5}\)  – это \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 11\).

Простые множители числа \(\displaystyle 2^{7}\cdot 7^{10}\)  – это \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 7\).

Все простые множители, перечисленные в порядке возрастания: \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 11\).

 

2. Выберем все простые множители в наибольших степенях.

Рассмотрим степени \(\displaystyle 2\). В первом числе это \(\displaystyle 2^3\), во втором числе – \(\displaystyle 2^7\). Наибольшая степень из \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 7\) – это \(\displaystyle {\color{blue}7}\). Следовательно, первый  множитель берем \(\displaystyle 2^{\color{blue}7}\).

Рассмотрим степени \(\displaystyle 7\). В первом числе \(\displaystyle 7\) отсутствует (считаем, что \(\displaystyle 7\) в нулевой степени), а во втором числе это \(\displaystyle 7^{10}\). Наибольшая степень из \(\displaystyle 0\) и \(\displaystyle 10\) – это \(\displaystyle {\color{red}{10}}\). Следовательно, второй множитель берем \(\displaystyle 7^{\color{red}{10}}\).

Рассмотрим степени \(\displaystyle 11\). В первом числе это \(\displaystyle 11^{5}\), а во втором числе \(\displaystyle 11\) нет (считаем, что \(\displaystyle 11\) в нулевой степени). Наибольшая степень из \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 0\) – это \(\displaystyle \color{green}{5}\). Следовательно, третий множитель берем \(\displaystyle 11^{\color{green}{5}}\).

 

3. Таким образом, наименьшим общим кратным исходных двух чисел является произведение

\(\displaystyle 2^{\color{blue}7}\cdot 7^{\color{red}{10}}\cdot 11^{\color{green}{5}}\).

 

Ответ: \(\displaystyle 2^{\color{blue}7}\cdot 7^{\color{red}{10}}\cdot 11^{\color{green}{5}}\).