Skip to main content

Theory: Элементарные тригонометрические уравнения

Task

Решите уравнение \(\displaystyle \cos(x)=\frac{1}{2}{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\)
\frac{\pi}{3}
\(\displaystyle +2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z}\)

Первое слагаемое из  интервала \(\displaystyle \left(0;\,\frac{\pi}{2}\right){\small .}\) 
 

\(\displaystyle x_2=\)
-\frac{\pi}{3}
\(\displaystyle +2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z}\)

Первое слагаемое из интервала \(\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2};\,0\right){\small .}\)

Solution

Так как значения косинуса лежат на оси \(\displaystyle \rm OX{ \small ,}\) то пересечем прямую \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) и тригонометрическую окружность:

Получаем два набора решений.

Таблица значений тригонометрических функций

Так как \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}{ \small ,}\) то получаем первый набор решений:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{3}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
 


Так как 

\(\displaystyle \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\)

то получаем второй набор решений:

\(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{3}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

 

Ответ: \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{3}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{3}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)