Skip to main content

Theory: Простейшие тригонометрические уравнения и отбор корней

Task

Решите уравнение \(\displaystyle \sin(5x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) и выберите корень на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{6};\, \frac{\pi}{4}\right]{\small .}\)

Если корней несколько, то в ответе запишите их сумму.

\(\displaystyle x=\)
\frac{\pi}{5}
Solution

Для любого числа \(\displaystyle -1\le a \le 1\) тригонометрическое уравнение \(\displaystyle \sin x =a\) имеет следующие решения:

\(\displaystyle x_1=\arcsin(a)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\pi-\arcsin(a)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

Таким образом, уравнение \(\displaystyle \sin(5x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) имеет решения

\(\displaystyle 5x_1=\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 5x_2=\pi-\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

Так как \(\displaystyle \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}{ \small ,}\) то

\(\displaystyle 5x_1=\frac{\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 5x_2=\pi-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

Преобразуем каждое равенство.

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot n, \, n\in \mathbb{Z}\)

Разделим обе части на \(\displaystyle 5{ \small :}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{4}\cdot \frac{1}{5}+2\pi n\cdot \frac{1}{5}, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot n, \, n\in \mathbb{Z}\)

Преобразуем второе равенство:

\(\displaystyle 5x_2=\pi-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 5x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

Разделим обе части на \(\displaystyle 5{ \small :}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{4}\cdot \frac{1}{5}+2\pi n\cdot \frac{1}{5}, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

Далее выберем корни на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{6};\, \frac{\pi}{4}\right]{\small .}\)

Для \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot n\)  решение \(\displaystyle \frac{\pi}{20}{\small .}\)

Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что

\(\displaystyle -\frac{\pi}{6} \le x_1\le \frac{\pi}{4}{ \small .}\)

То есть

\(\displaystyle -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}n\le \frac{\pi}{4}{\small .}\)

Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)

\(\displaystyle -\frac{1}{6} \le \frac{1}{20}+\frac{2}{5}n\le \frac{1}{4}{\small .}\)

Вычтем из всех частей неравенств \(\displaystyle \frac{1}{20}{\small :}\)

\(\displaystyle -\frac{1}{6}-\frac{1}{20} \le \frac{1}{20}+\frac{2}{5}n-\frac{1}{20}\le \frac{1}{4}-\frac{1}{20}{ \small ,}\)

\(\displaystyle -\frac{13}{60} \le \frac{2}{5}n\le \frac{1}{5}{\small .}\)

Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle \frac{2}{5}{\small : }\)

\(\displaystyle -\frac{13}{60}:\frac{2}{5} \le \frac{2}{5}n:\frac{2}{5} \le \frac{1}{5}:\frac{2}{5}{\small .}\)

Преобразуем:

\(\displaystyle -\frac{13}{24} \le n \le \frac{1}{2}{\small .}\)

Таким образом, нам надо найти все целые числа в промежутке от \(\displaystyle -\frac{13}{24}\) до \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small .}\)

Единственное целое число в этом промежутке – это ноль, то есть \(\displaystyle n=0{\small .}\)

Подставляя \(\displaystyle n=0\) в \(\displaystyle \frac{\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}n{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle n=0, \qquad \frac{\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot 0=\frac{\pi}{20}{\small .}\)

Для \(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot n\) решение \(\displaystyle \frac{3\pi}{20}{\small .}\)

Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что

\(\displaystyle -\frac{\pi}{6} \le x_2\le \frac{\pi}{4}{ \small .}\)

То есть

\(\displaystyle -\frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}n\le \frac{\pi}{4}{\small .}\)

Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)

\(\displaystyle -\frac{1}{6} \le \frac{3}{20}+\frac{2}{5}n\le\frac{1}{4}{\small .}\)

Вычтем из всех частей неравенств \(\displaystyle \frac{3}{20}{\small :}\)

\(\displaystyle -\frac{1}{6}-\frac{3}{20} \le \frac{3}{20}+\frac{2}{5}n-\frac{3}{20}\le \frac{1}{4}-\frac{3}{20}{ \small ,}\)

\(\displaystyle -\frac{19}{60} \le \frac{2}{5}n\le \frac{1}{10}{\small .}\)

Чтобы выделить \(\displaystyle n\) разделим неравенства на \(\displaystyle \frac{2}{5}\)

\(\displaystyle -\frac{19}{60}:\frac{2}{5} \le \frac{2}{5}n:\frac{2}{5} \le \frac{1}{10}:\frac{2}{5}{\small .}\)

Преобразуем:

\(\displaystyle -\frac{19}{24} \le n \le \frac{1}{4}{\small .}\)

Таким образом, нам надо найти все целые числа в промежутке от \(\displaystyle -\frac{19}{24}\) до \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small .}\)

Единственное целое число в этом промежутке – это ноль, то есть \(\displaystyle n=0{\small .}\)

Подставляя \(\displaystyle n=0\) в \(\displaystyle \frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}n{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle n=0, \qquad \frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot 0=\frac{3\pi}{20}{\small .}\)

Таким образом, уравнение \(\displaystyle \sin(5x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{6};\, \frac{\pi}{4}\right]\) имеет два решения:

\(\displaystyle \frac{\pi}{20}\) и  \(\displaystyle \frac{3\pi}{20}{\small .}\)

Сумма двух корней равна

\(\displaystyle \frac{\pi}{20}+\frac{3\pi}{20}=\frac{\pi}{5}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{\pi}{5}{\small .}\)