Дробь \(\displaystyle \frac{20}{(8x-48)^2} > 0{ \small ,}\) если
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}20&> 0{ \small ,}\\(8x-48)^2 &> 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}20&< 0{ \small ,}\\(8x-48)^2& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Так как
- неравенство \(\displaystyle 20> 0\) всегда верно, то первая система упрощается до неравенства \(\displaystyle (8x-48)^2>0{\small ; }\)
- неравенство \(\displaystyle 20<0\) неверно, поэтому вторая система не имеет решений.
Решим неравенство
\(\displaystyle (8x-48)^2>0{\small .} \)
Квадрат выражения неотрицателен, то есть
\(\displaystyle (8x-48)^2\ge 0 \) для любого \(\displaystyle x{\small .} \)
Это можно расписать, что для любого \(\displaystyle x \) либо \(\displaystyle (8x-48)^2>0{ \small ,} \) либо \(\displaystyle (8x-48)^2=0{\small .}\)
Следовательно, необходимо исключить те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle (8x-48)^2=0{\small .}\)
Так как \(\displaystyle (8x-48)^2\,\cancel{=}\,0\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle 8x-48\,\cancel{=}\,0{ \small ,}\) то:
\(\displaystyle 8x-48\,\cancel{=}\,0{ \small ,} \)
\(\displaystyle 8x\,\cancel{=}\,48{ \small ,} \)
\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,6{\small .} \)
Таким образом, решениями неравенства \(\displaystyle (8x-48)^2>0\) будут все числа, кроме \(\displaystyle x=6{\small .} \) То есть
\(\displaystyle x\in (-\infty;6)\) или \(\displaystyle x\in (6;+\infty){\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;6)\cup(6;+\infty){\small .} \)