Первый способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle x^{\,3}-3\cdot x^{\,2}\cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2-3^3\) является полным кубом разности.
ПравилоКуб разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Сравнивая равенства
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{r} \color{blue}{a}^{\,3}\\ \color{blue}{x}^{\,3} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{l} -\\ - \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\ 3\cdot \color{blue}{x}^{\,2}\cdot \color{green}{3} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{l} +\\ + \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\ 3\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{3}^2 \end{array} \begin{array}{l} -\color{green}{b}^{\,3}\\ -\color{green}{3}^3 \end{array} \begin{array}{l} =(\color{blue}{a}-\color{green}{b}\,)^3\\ =(\,\color{blue}{?\,}-\,\color{green}{?\,})^3, \end{array} \end{aligned}\)
видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=3.\)
Поэтому
\(\displaystyle x^{\,3}-3\cdot x^{\,2}\cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2-3^3=(x-3)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\pmb x}-{\bf 3})^3.\)
Второй способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle x^{\,3}-3\cdot x^{\,2}\cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2-3^3\) является полным кубом разности.
Значит,
\(\displaystyle x^{\,3}-3\cdot x^{\,2}\cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2-3^3=(a-b\,)^3\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Напомним формулу "куб разности".
ПравилоКуб разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Следовательно,
\(\displaystyle x^{\,3}-3\cdot x^{\,2}\cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2-3^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{x^{\,3}}-3\cdot x^{\,2}\cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2-\color{green}{3^3},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{x^{\, 3}}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{3^3}.\)
Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=3.\)
1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{x^{\, 3}}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{3^3}\) выполняются.
2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений
\(\displaystyle -3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=-3\cdot x^{\,2}\cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2\)
при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=3.\)
Подставляем \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=3\) и получаем \(\displaystyle -3x^{\,2}\cdot 3+3x\cdot 3^2=-3\cdot x^{\,2}\cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2,\) верное равенство.
В итоге мы получили равенство
\(\displaystyle x^{\,3}-3\cdot x^{\,2}\cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2-3^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}\)
при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=3.\)
Следовательно,
\(\displaystyle x^{\,3}-3\cdot x^{\,2}\cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2-3^3=(a-b\,)^3\)
при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=3,\) то есть
\(\displaystyle x^{\,3}-3\cdot x^{\,2}\cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2-3^3=(x-3)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\pmb x}-{\bf 3})^3.\)
сек