01Math - онлайн учебник по математике.

• Демо - режим •

В демонстрационном режиме вы можете решить до 10 задач в день бесплатно.
После регистрации вы получите 24 часа бесплатного доступа ко всем разделам сайта!

Теория :: Пример

Найдите произведение выражений, используя формулу "разность кубов":

\(\displaystyle (x-y\,)(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})=\)\(\displaystyle ^3\)\(\displaystyle ^3\)

Теория :: Решение

Правило

Разность кубов

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).\)

Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:

\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)

Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ \color{blue}{(x-y\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}-b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)

Можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{(x-y\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\ \color{green}{(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}. \end{aligned}\)

Данные равенства верны при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=y.\) Следовательно,

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ {\small |\;|}\\ \color{blue}{(x-y\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ {\small |\;|}\\ \color{green}{(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})} \end{array} \begin{array}{c} =\\ \phantom{=}\\ = \end{array} \begin{array}{c} \color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\ {\small |\;|}\\ \color{red}{x^{\,3}-y^{\,3}} \end{array} \end{aligned}\)

Таким образом,

\(\displaystyle (x-y\,)(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})=x^{\,3}-y^{\,3}.\)

Ответ: \(\displaystyle {\bf x}^{\,3}-{\bf y}^{\,3}.\)

Замечание / комментарий

Неполный квадрат суммы

Выражение

\(\displaystyle a^{\,2}+ab+b^{\,2}\)

называется неполным квадратом суммы параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Понятно, дальше

Учебные блоки

0 / 8

Задач решено верно: 0 из 0 [ 0% ]

0 из 100

Нахождение разности кубов

Разность кубов

Неполный квадрат суммы