ПравилоРазность кубов
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).\)
Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:
\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)
Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ \color{blue}{(x-y\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}-b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)
Можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:
\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{(x-y\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\ \color{green}{(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}. \end{aligned}\)
Данные равенства верны при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=y.\) Следовательно,
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ {\small |\;|}\\ \color{blue}{(x-y\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ {\small |\;|}\\ \color{green}{(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})} \end{array} \begin{array}{c} =\\ \phantom{=}\\ = \end{array} \begin{array}{c} \color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\ {\small |\;|}\\ \color{red}{x^{\,3}-y^{\,3}} \end{array} \end{aligned}\)
Таким образом,
\(\displaystyle (x-y\,)(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})=x^{\,3}-y^{\,3}.\)
Ответ: \(\displaystyle {\bf x}^{\,3}-{\bf y}^{\,3}.\)
Замечание / комментарийНеполный квадрат суммы
Выражение
\(\displaystyle a^{\,2}+ab+b^{\,2}\)
называется неполным квадратом суммы параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
сек