01Math - онлайн учебник по математике.

• Демо режим •

В демонстрационном режиме вы можете решить до 10 задач в день бесплатно.
После регистрации получите + 31 день бесплатного доступа

Теория :: Пример

Разложите на множители:

\(\displaystyle 8x^{\,3}+7y^{\,2}z^{\,4}+14x^{\,3}z^{\,4}+4y^{\,2}=\big(\)

4+7z^4

\(\displaystyle \big)\big(\)

2x^3+y^2

\(\displaystyle \big)\)

Теория :: Решение

Сначала выберем произвольную переменную, которая встречается в точности в половине слагаемых (то есть в нашем случае – дважды). Пусть, например, это будет переменная \(\displaystyle x {\small .}\) Сгруппируем все члены с данной переменной в одни скобки, а остальные – в другие:

\(\displaystyle 8\color{red}{x^{\,3}}+7y^{\,2}z^{\,4}+14\color{red}{x^{\,3}}z^{\,4}+4y^{\,2}=(8\color{red}{x^{\,3}}+14\color{red}{x^{\,3}}z^{\,4})+(7y^{\,2}z^{\,4}+4y^{\,2}) {\small .}\)

Найдем общий множитель для выражения в первых скобках \(\displaystyle (8x^{\,3}+14x^{\,3}z^{\,4})\) (которое, как мы решили, содержит переменную \(\displaystyle x\)).

Наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(8,14)=2 {\small .}\)
Выберем общие переменные у выражений \(\displaystyle x^{\,3}\) и \(\displaystyle x^{\,3}z^{\,4}\) с наименьшим показателем степени, – это \(\displaystyle x^{\,3} {\small .}\)

Значит, общий множитель для \(\displaystyle (8x^{\,3}+14x^{\,3}z^{\,4})\) равен \(\displaystyle 2x^{\,3} {\small .}\) Вынося его за скобки, имеем:

\(\displaystyle 8x^{\,3}+14x^{\,3}z^{\,4}=2x^{\,3}\,(4+7z^{\,4}) {\small .}\)

Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках \(\displaystyle (7y^{\,2}z^{\,4}+4y^{\,2}) {\small .}\)

Наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(7,4)=1{\small .}\)
Выберем общие переменные у выражений \(\displaystyle y^{\,2}z^{\,4}\) и \(\displaystyle y^{\,2}\) с наименьшим показателем степени, – это \(\displaystyle y^{\,2} {\small .}\)

Значит, общий множитель для \(\displaystyle (7y^{\,2}z^{\,4}+4y^{\,2})\) равен \(\displaystyle y^{\,2} {\small .}\) Вынося его за скобки, имеем:

\(\displaystyle 7y^{\,2}z^{\,4}+4y^{\,2}=y^{\,2}(7z^{\,4}+4){\small .}\)

Возвращаясь к исходному выражению, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned} (8x^{\,3}+14x^{\,3}z^{\,4})+(7y^{\,2}z^{\,4}+4y^{\,2})&= 2x^{\,3}\,(4+7z^{\,4})+y^{\,2}(7z^{\,4}+4)=\\ &=2x^{\,3}\,(4+7z^{\,4})+y^{\,2}(4+7z^{\,4}) {\small .} \end{aligned}\)

Заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель \(\displaystyle (4+7z^{\,4}) {\small .}\) Значит, его также можно вынести за скобки:

\(\displaystyle 2x^{\,3}\,\color{blue}{(4+7z^{\,4})}+y^{\,2}\,\color{blue}{(4+7z^{\,4})}=\color{blue}{(4+7z^{\,4})} (2x^{\,3}+y^{\,2}) {\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle 8x^{\,3}+7y^{\,2}z^{\,4}+14x^{\,3}z^{\,4}+4y^{\,2}=({\bf 4}+{\bf 7}{\pmb z}^{\,{\bf 4}})({\bf 2}{\pmb x}^{\,{\bf 3}}+{\pmb y}^{\,{\bf 2}}) {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle (4+7z^{\,4})(2x^{\,3}+y^{\,2}) {\small .}\)

ОК, дальше

Учебные блоки

0 / 8

Задач решено верно: 0 из 0 [ 0% ]

0 из 100

Разложение на множители (продолжение) (*дополнительный раздел)