Подобные одночлены, сумма и разность одночленов

Используя данное определение, нам нужно выбрать из предложенных одночленов те, которые подобны одночлену \(\displaystyle z^{\,3}\cdot 4\cdot x^{\,3}\cdot y\cdot \frac{1}{2}z^{\,5}\cdot x^{\,2}\cdot y^{\,3}{\small .}\)

Поскольку одночлен \(\displaystyle z^{\,3}\cdot 4\cdot x^{\,3}\cdot y\cdot \frac{1}{2}z^{\,5}\cdot x^{\,2}\cdot y^{\,3}\) записан не в стандартном виде, то мы должны сначала привести его к стандартному виду:

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{red}{z^{\,3}}\cdot 4\cdot \color{blue}{x^{\,3}}\cdot \color{green}{y}\cdot \frac{1}{2}\color{red}{z^{\,5}}\cdot \color{blue}{x^{\,2}}\cdot \color{green}{y^{\,3}}&= (4\cdot \frac{1}{2})\cdot (\color{blue}{x^{\,3}}\cdot \color{blue}{x^{\,2}})\cdot (\,\color{green}{y}\cdot \color{green}{y^{\,3}})\cdot (\color{red}{z^{\,3}}\cdot \color{red}{z^{\,5}})=\\[10px] &=2\cdot \color{blue}{x^{\,3+2}}\cdot\color{green}{y^{\,1+3}}\cdot\color{red}{z^{\,3+5}}= 2\color{blue}{x^{\,5}}\color{green}{y^{\,4}}\color{red}{z^{\,8}} {\small .} \end{aligned}\)

Далее мы должны каждый из предложенных для сравнения одночленов привести к стандартному виду, а затем проверить, чтобы он отличался от одночлена \(\displaystyle 2x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}\) только коэффициентом (не учитывая порядок множителей).

1. Одночлен \(\displaystyle 11z^{\, 7}\cdot x\cdot y^{\,2}\cdot z \cdot 2 \cdot y^{\,2}\cdot x^{\,4}{\small .}\)

Приведем его к стандартному виду:

\(\displaystyle \begin{aligned} 11\color{red}{z^{\, 7}}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{y^{\,2}}\cdot \color{red}{z} \cdot 2 \cdot \color{green}{y^{\,2}}\cdot \color{blue}{x^{\,4}}&= (11\cdot 2)\cdot (\color{blue}{x}\cdot \color{blue}{x^{\,4}})\cdot (\,\color{green}{y^{\,2}}\cdot \color{green}{y^{\,2}})\cdot (\color{red}{z^{\, 7}}\cdot \color{red}{z}\,) =\\ &=22\color{blue}{x^{\,1+4}}\color{green}{y^{\,2+2}}\color{red}{z^{\,7+1}}= 22\color{blue}{x^{\,5}}\color{green}{y^{\,4}}\color{red}{z^{\,8}} {\small .}\end{aligned}\)

Если одночлены \(\displaystyle 22x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}\) и \(\displaystyle 2x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}\) отличаются числовым коэффициентом, то они должны содержать одинаковые оставшиеся множители, если мы отбросим числовые коэффиценты:

\(\displaystyle \color{blue}{22}x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8} \rightarrow x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{2}x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8} \rightarrow x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}{\small .}\)

В обоих случаях мы получили \(\displaystyle x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}{\small ,}\) и, значит, одночлены

\(\displaystyle 2x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}\) и \(\displaystyle 11z^{\, 7}\cdot x\cdot y^{\,2}\cdot z \cdot 2 \cdot y^{\,2}\cdot x^{\,4}\)

подобны.

2. Одночлен \(\displaystyle 9{,}1z^{\,8}x^{\,5}y^{\,4}{\small .}\)

Этот одночлен уже записан в стандартном виде, значит, нужно только сравнить его с одночленом \(\displaystyle 2x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}{\small .}\)

Если одночлены \(\displaystyle 9{,}1z^{\,8}x^{\,5}y^{\,4}\) и \(\displaystyle 2x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}\) отличаются числовым коэффициентом, то они должны содержать одинаковые оставшиеся множители, если мы отбросим числовые коэффиценты:

\(\displaystyle \color{blue}{9{,}1}z^{\,8}x^{\,5}y^{\,4} \rightarrow z^{\,8}x^{\,5}y^{\,4}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{2}x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8} \rightarrow x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}{\small .}\)

В первом случае мы получили \(\displaystyle z^{\,8}x^{\,5}y^{\,4}{\small ,}\) а во втором – \(\displaystyle x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}{\small .}\) Поскольку эти одночлены отличаются только порядком множителей, то они равны, и, значит, одночлены \(\displaystyle 2x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}\) и \(\displaystyle 9{,}1z^{\,8}x^{\,5}y^{\,4}\) подобны.

3. Выражение \(\displaystyle 5x^{\,5}\frac{1}{y^{\,4}}z^{\,8}{\small .}\)

Данное выражение не может быть подобно ни одному одночлену, поскольку само не является одночленом (так как содержит дробь, в знаменателе которой стоит переменная). И, следовательно, не подобно одночлену \(\displaystyle 2x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}{\small .}\)

4. Одночлен \(\displaystyle 2x^{\,4}\cdot s\cdot y\cdot s^{\,7}\cdot y^{\,3}\cdot x{\small .}\)

Приведем его к стандартному виду:

\(\displaystyle \begin{aligned} 2\color{blue}{x^{\,4}}\cdot \color{red}{s}\cdot \color{green}{y}\cdot \color{red}{s^{\,7}}\cdot \color{green}{y^{\,3}}\cdot \color{blue}{x}&= 2\cdot (\color{blue}{x^{\,4}}\cdot \color{blue}{x}\,)\cdot (\,\color{green}{y}\cdot \color{green}{y^{\,3}})\cdot (\color{red}{s}\cdot \color{red}{s^{\,7}})=\\ &=2\color{blue}{x^{\,4+1}}\color{green}{y^{\,1+3}}\color{red}{s^{\,1+7}}= 2\color{blue}{x^{\,5}}\color{green}{y^{\,4}}\color{red}{s^{\,8}}{\small .} \end{aligned}\)

Если одночлены \(\displaystyle 2x^{\,5}y^{\,4}s^{\,8}\) и \(\displaystyle 2x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}\) отличаются числовым коэффициентом, то они должны содержать одинаковые оставшиеся множители, если мы отбросим числовые коэффиценты:

\(\displaystyle \color{blue}{2}x^{\,5}y^{\,4}s^{\,8} \rightarrow x^{\,5}y^{\,4}s^{\,8}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{2}x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8} \rightarrow x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}{\small .}\)

Так как \(\displaystyle x^{\,5}y^{\,4}s^{\,8}=\not x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}{\small ,}\) то одночлены \(\displaystyle 2x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}\) и \(\displaystyle 2x^{\,4}\cdot s\cdot y\cdot s^{\,7}\cdot y^{\,3}\cdot x\) не подобны.

5. Одночлен \(\displaystyle y^{\,3}\cdot x^{\,3}\cdot 0{,}07z^{\, 5}\cdot y\cdot 100\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,2}{\small .}\)

Приведем его к стандартному виду:

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{green}{y^{\,3}}\cdot \color{blue}{x^{\,3}}\cdot 0{,}07\color{red}{z^{\, 5}}\cdot \color{green}{y}\cdot 100\cdot \color{red}{z^{\,2}}\cdot \color{blue}{x^{\,2}}&= (0{,}07\cdot 100)\cdot (\color{blue}{x^{\,3}}\cdot \color{blue}{x^{\,2}})\cdot (\,\color{green}{y^{\,3}}\cdot \color{green}{y}\,)\cdot (\color{red}{z^{\, 5}}\cdot \color{red}{z^{\,2}})=\\ &=7\color{blue}{x^{\,3+2}}\color{green}{y^{\,3+1}}\color{red}{z^{\,5+2}}= 7\color{blue}{x^{\,5}}\color{green}{y^{\,4}}\color{red}{z^{\,7}}{\small .} \end{aligned}\)

Если одночлены \(\displaystyle 7x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}\) и \(\displaystyle 2x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}\) отличаются числовым коэффициентом, то они должны содержать одинаковые оставшиеся множители, если мы отбросим числовые коэффиценты:

\(\displaystyle \color{blue}{7}x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7} \rightarrow x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{2}x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8} \rightarrow x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}{\small .}\)

Так как \(\displaystyle x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}=\not x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}{\small ,}\) то одночлены

\(\displaystyle 2x^{\,5}y^{\,4}z^{\,8}\) и \(\displaystyle y^{\,3}\cdot x^{\,3}\cdot 0{,}07z^{\, 6}\cdot y\cdot 100\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,2}\)

не подобны.