1. Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулой.
Квадрат разности
ПравилоКвадрат разности
Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно
\(\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Перепишем выражение \(\displaystyle x^2-16x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:
\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ 16x}{ \color{red}{2} }=x^2-\color{red}{2}\cdot x \cdot 8{\small .}\)
Сравним формулу и наше выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{8}\,+\,?\end{aligned}\)
Получаем, что \(\displaystyle b=8{\small , }\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{8}^2=\color{green}{64}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности, то есть
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{8}\,+\color{green}{64}{\small .}\end{aligned}\)
Поэтому дополним равенство
\(\displaystyle x^2-16x=-60\)
с обеих сторон числом \(\displaystyle \color{green}{64}\)
\(\displaystyle x^2-16x+\color{green}{64}=-60+\color{green}{64}\)
и распишем квадрат разности слева явно:
\(\displaystyle x^2-2\cdot x\cdot 8+\color{green}{8^2}=4{\small ; }\)
\(\displaystyle (x-8)^2=4{\small .}\)
2. Решим полученное уравнение, воспользовавшись правилом для решения уравнения вида \(\displaystyle \color{red}{ X}^2=a{\small . } \)
Решение уравнения \(\displaystyle x^2=a \)
ПравилоУравнение \(\displaystyle x^2=a\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle a>0{\small :}\)
\(\displaystyle x= \sqrt{a}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0{\small :}\)
\(\displaystyle x=0 {\small ; }\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle a<0{\small .}\)
Считая, что \(\displaystyle \color{red}{ X}= x-8\) и \(\displaystyle a=4>0{\small , } \) получаем:
\(\displaystyle x-8= \sqrt{ 4} \) или \(\displaystyle x-8= -\sqrt{ 4} {\small ; } \)
\(\displaystyle x-8=2\) или \(\displaystyle x-8=-2{\small . } \)
Значит,
\(\displaystyle x=10\) или \(\displaystyle x=6{\small . } \)
| Ответ: | \(\displaystyle (x-8)^2=4{\small ;}\) |
| | \(\displaystyle x_1=10 {\small , }\) \(\displaystyle x_2=6{\small . } \) |
сек