1. Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулой.
Квадрат суммы
ПравилоКвадрат суммы
Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно
\(\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Перепишем выражение \(\displaystyle x^2+6x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:
\(\displaystyle x^2+\color{red}{2}\cdot \frac{ 6x}{ \color{red}{2} }=x^2+\color{red}{2}\cdot x \cdot 3{\small .}\)
Сравним формулу и наше выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{3}\,+\,?\end{aligned}\)
Получаем, что \(\displaystyle b=3{\small , }\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{3}^2=\color{green}{9}{\small ,}\) чтобы получить квадрат суммы, то есть
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{3}\,+\color{green}{9}{\small .}\end{aligned}\)
Поэтому дополним равенство
\(\displaystyle x^2+6x=-5\)
с обеих сторон числом \(\displaystyle \color{green}{9}\)
\(\displaystyle x^2+6x+\color{green}{9}=-5+\color{green}{9}\)
и распишем квадрат суммы слева явно:
\(\displaystyle x^2+2\cdot x\cdot 3+\color{green}{3^2}=4{\small ; }\)
\(\displaystyle (x+3)^2=4{\small .}\)
2. Решим полученное уравнение, воспользовавшись правилом для решения уравнения вида \(\displaystyle \color{red}{ X}^2=a{\small . } \)
Решение уравнения \(\displaystyle x^2=a \)
ПравилоУравнение \(\displaystyle x^2=a\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle a>0{\small :}\)
\(\displaystyle x= \sqrt{a}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0{\small :}\)
\(\displaystyle x=0 {\small ; }\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle a<0{\small .}\)
Считая, что \(\displaystyle \color{red}{ X}= x+3\) и \(\displaystyle a=4>0{\small , } \) получаем:
\(\displaystyle x+3= \sqrt{ 4} \) или \(\displaystyle x+3= -\sqrt{ 4} {\small ; } \)
\(\displaystyle x+3=2\) или \(\displaystyle x+3=-2{\small . } \)
Значит,
\(\displaystyle x=-1\) или \(\displaystyle x=-5{\small . } \)
| Ответ: | \(\displaystyle (x+3)^2=4{\small ;}\) |
| | \(\displaystyle x_1=-1{\small , }\) \(\displaystyle x_2=-5{\small . } \) |
сек