Сначала нужно найти общий множитель, а затем вынести его за скобки.
Общий множитель для 45n^{\,3}-20n
Общий множитель выражения 45n^{\,3}-20n – это наибольший общий делитель одночленов \color{blue}{ 45}\color{green}{ n^{\,3}} и \color{blue}{ 20}\color{green}{ n}{\small . }
Найдем его как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени:
-
Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов \color{blue}{45} и \color{blue}{20}.
Тогда НОД(\color{blue}{45},\color{blue}{20})=5{\small . }
-
Найдем n в наименьшей степени:
В первом одночлене 5n^{\bf \,\color{green}{3}} переменная n имеет степень 3{\small . }
Во втором одночлене 20n=20n^{\bf \,\color{green}{1}} переменная n имеет степень 1{\small . }
Следовательно, n в наименьшей степени – это n^{\bf \,1}=n{\small . }
Значит, в выражении 45n^{\,3}-20n можно вынести за скобки общий множитель 5n{\small . }
Вынесем найденный общий множитель 5n за скобки:
45n^{\,3}-20n=\color{red}{ 5n}\left(\displaystyle\frac{45n^{\,3}}{\color{red}{ 5n}}-\displaystyle\frac{20n}{\color{red}{ 5n}}\right)=5n\left( 9n^{\,2}-4 \right){\small . }
Теперь заметим, что выражение в скобках \left( 9n^{\,2}-4 \right) является разностью квадратов.
Разложим его на множители по формуле разности квадратов:
5n\left( 9n^{\,2}-4 \right)=5n\left((3n)^{\,2}-2^2\right)=5n\left(3n-2\right)\left(3n+2\right){\small . }
Таким образом,
45n^{\,3}-20n=5n\left(3n-2\right)\left(3n+2\right){\small . }
Ответ: 5n\left(3n-2\right)\left(3n+2\right){\small . }