Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 25+120k+(12k\,)^2\) является полным квадратом суммы.
ПравилоКвадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Заметим, что \(\displaystyle 25=5^2\) и поэтому
\(\displaystyle 25+120k+(12k\,)^2=5^2+120k+(12k\,)^2.\)
Перепишем удвоенное произведение \(\displaystyle 120k\) так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:
\(\displaystyle 5^2+120k+(12k\,)^2=5^2+2\cdot 5 \cdot 12k+(12k\,)^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=5\) и \(\displaystyle b=12k\):
\(\displaystyle 5^2+2\cdot 5 \cdot 12k+(12k\,)^2=(5+12k\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 25+120k+(12k\,)^2=(5+12k\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (5+12k\,)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 25+120k+(12k\,)^2\) является полным квадратом суммы.
ПравилоКвадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle 25+120k+(12k\,)^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что \(\displaystyle 25=5^2\) и поэтому
\(\displaystyle 25+120k+(12k\,)^2=5^2+120k+(12k\,)^2.\)
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{5^2}+120k+\color{green}{(12k\,)^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{5^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(12k\,)^2}.\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 5\) или \(\displaystyle -5,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 12k\) или \(\displaystyle -12k\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=5,\)
\(\displaystyle b=12k.\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=5^2+\color{red}{120k}+(12k\,)^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}120k\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 5,\) а вместо \(\displaystyle b\) числа \(\displaystyle 12k.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 5\cdot 12k,\)
\(\displaystyle 2ab=120k.\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=5\) и \(\displaystyle b=12k.\)
Поскольку
\(\displaystyle 25+120k+(12k\,)^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle 25+120k+(12k\,)^2=(a+b\,)^2,\)
то, подставляя \(\displaystyle a=5\) и \(\displaystyle b=12k\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle 25+120k+(12k\,)^2=(5+12k\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (5+12k\,)^2.\)