Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 121+132e+(6e\,)^2\) является полным квадратом суммы.
ПравилоКвадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Заметим, что \(\displaystyle 121=11^2\) и поэтому
\(\displaystyle 121+132e+(6e\,)^2=11^2+132e+(6e\,)^2.\)
Перепишем удвоенное произведение \(\displaystyle 132e\) так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:
\(\displaystyle 11^2+132e+(6e\,)^2=11^2+2\cdot 11 \cdot 6e+(6e\,)^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=11\) и \(\displaystyle b=6e\):
\(\displaystyle 11^2+2\cdot 11 \cdot 6e+(6e\,)^2=(11+6e\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 121+132e+(6e\,)^2=(11+6e\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (11+6e\,)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 121+132e+(6e\,)^2\) является полным квадратом суммы.
ПравилоКвадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle 121+132e+(6e\,)^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что \(\displaystyle 121=11^2\) и поэтому
\(\displaystyle 121+132e+(6e\,)^2=11^2+132e+(6e\,)^2.\)
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{11^2}+132e+\color{green}{(6e\,)^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{11^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(6e\,)^2}.\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 11\) или \(\displaystyle -11,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 6e\) или \(\displaystyle -6e\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=11,\)
\(\displaystyle b=6e.\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=11^2+\color{red}{132e}+(6e\,)^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}132e\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) числа \(\displaystyle 11,\) а вместо \(\displaystyle b\) выражения \(\displaystyle 6e.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 11\cdot 6e,\)
\(\displaystyle 2ab=132e.\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=11\) и \(\displaystyle b=6e.\)
Поскольку
\(\displaystyle 121+132e+(6e\,)^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle 121+132e+(6e\,)^2=(a+b\,)^2,\)
то, подставляя \(\displaystyle a=11\) и \(\displaystyle b=6e\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle 121+132e+(6e\,)^2=(11+6e\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (11+6e\,)^2.\)
сек