Skip to main content

Нахождение квадрата суммы - 2

• Демо - режим •
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

В демонстрационном режиме вы можете решить до 10 задач в день бесплатно.
После регистрации вы получите неделю бесплатного доступа ко всем разделам сайта!

 
 
Теория :: Пример

Найдите квадрат суммы:
 

x^{\, 2}+12x+36=\big(\big)^2

Теория :: Решение

Первый способ.

Нам известно, что выражение x^{\, 2}+12x+36 является полным квадратом суммы.

Правило

Квадрат суммы

Для любых чисел a, \, b верно

a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.

Сначала заметим, что 36=6^2. Далее распишем 12x как удвоенное произведение:

12x=2\cdot x \cdot 6.

Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:

x^{\, 2}+12x+36=x^{\, 2}+2\cdot x \cdot 6+6^2.

Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при a=x и b=6:

x^{\, 2}+2\cdot x \cdot 6+6^2=(x+6)^2.

Таким образом,

x^{\, 2}+12x+36=(x+6)^2.

Ответ: (x+6)^2.
 

Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).

Нам известно, что выражение x^{\, 2}+12x+36 является полным квадратом суммы.

Правило

Квадрат суммы

Для любых чисел a, \, b верно

a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.

Следовательно,

a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=x^{\, 2}+12x+36

для некоторых a и b, которые надо найти.

Заметим, что  36=6^2 и поэтому

x^{\, 2}+12x+36=x^{\, 2}+12x+6^2.

Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,

\color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{x^{\,2}}+12x+\color{green}{6^2},

\color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{x^{\, 2}} и  \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{6^2}.

Тогда a может быть x или -x, b может быть 6 или -6 (см. решение уравнения X^{\,2}=a^{\,2}).

Выберем значения параметров a и b с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":

a=x,

b=6.

Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения

a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=x^{\,2}+\color{red}{12x}+6^2,

2ab\overset{?}{=}12x,

при подстановке вместо a параметра x, а вместо b числа 6.

Подставляя, получаем:

2ab=2\cdot x\cdot 6,

2ab=12x.

Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств a=x и b=6.

Поскольку

x^{\, 2}+12x+36=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},

x^{\, 2}+12x+36=(a+b\,)^2,

то, подставляя a=x и b=6 в скобки справа, получаем:

x^{\, 2}+12x+36=(x+6)^2.

Ответ: (x+6)^2.

Понятно, дальше  
Учебные блоки

1 /  4

Было проблемных задач: 0
0 из 100