Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36\) является полным квадратом суммы.
ПравилоКвадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 36=6^2.\) Далее распишем \(\displaystyle 12x\) как удвоенное произведение:
\(\displaystyle 12x=2\cdot x \cdot 6.\)
Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=x^{\, 2}+2\cdot x \cdot 6+6^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=6\):
\(\displaystyle x^{\, 2}+2\cdot x \cdot 6+6^2=(x+6)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=(x+6)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (x+6)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36\) является полным квадратом суммы.
ПравилоКвадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=x^{\, 2}+12x+36\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что \(\displaystyle 36=6^2\) и поэтому
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=x^{\, 2}+12x+6^2.\)
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{x^{\,2}}+12x+\color{green}{6^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{x^{\, 2}}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{6^2}.\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle x\) или \(\displaystyle -x,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 6\) или \(\displaystyle -6\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=x,\)
\(\displaystyle b=6.\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=x^{\,2}+\color{red}{12x}+6^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}12x,\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) параметра \(\displaystyle x,\) а вместо \(\displaystyle b\) числа \(\displaystyle 6.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot x\cdot 6,\)
\(\displaystyle 2ab=12x.\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=6.\)
Поскольку
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=(a+b\,)^2,\)
то, подставляя \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=6\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=(x+6)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (x+6)^2.\)
сек