Нам известно, что выражение
\(\displaystyle (3x\,)^2+\, \color{red}{ ?} \, +(11y\,)^2\)
является полным квадратом суммы, и необходимо найти удвоенное произведение.
Следовательно,
\(\displaystyle (3x\,)^2+\, \color{red}{ ?} \, +(11y\,)^2=(a+b\,)^2,\)
\(\displaystyle (3x\,)^2+\, \color{red}{ ?} \, +(11y\,)^2=a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Нам известны квадраты
\(\displaystyle a^{\, 2}=(3x\,)^2,\)
\(\displaystyle b^{\, 2}=(11y\,)^2,\)
но неизвестно удвоенное произведение
\(\displaystyle 2ab=\, \color{red}{ ?}\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{3x}\) или \(\displaystyle \color{green}{-3x},\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{11y}\) или \(\displaystyle \color{green}{-11y}.\)
Поскольку параметры \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) положительны и нам требуется получить квадрат суммы положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":
\(\displaystyle a=\color{blue}{3x},\)
\(\displaystyle b=\color{blue}{11y}.\)
Поэтому
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 3x \cdot 11y,\)
\(\displaystyle 2ab=66xy.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (3x\,)^2+\, \color{red}{ ?} \, +(11y\,)^2=(3x\,)^2+\color{red}{ 66xy} +(11y\,)^2,\)
и
\(\displaystyle (3x\,)^2+66xy +(11y\,)^2=(3x+11y\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (3x\,)^2+66xy +(11y\,)^2=(3x+11y\,)^2.\)