Дополнение до полного квадрата суммы - 1

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle (3x\,)^2+\, \color{red}{ ?} \, +(11y\,)^2\)

является полным квадратом суммы, и необходимо найти удвоенное произведение.

Следовательно,

\(\displaystyle (3x\,)^2+\, \color{red}{ ?} \, +(11y\,)^2=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle (3x\,)^2+\, \color{red}{ ?} \, +(11y\,)^2=a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Нам известны квадраты

\(\displaystyle a^{\, 2}=(3x\,)^2,\)

\(\displaystyle b^{\, 2}=(11y\,)^2,\)

но неизвестно удвоенное произведение

\(\displaystyle 2ab=\, \color{red}{ ?}\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть  \(\displaystyle \color{blue}{3x}\) или \(\displaystyle \color{green}{-3x},\)  \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{11y}\) или \(\displaystyle \color{green}{-11y}.\)

Поскольку параметры \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) положительны и нам требуется получить квадрат суммы положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":

\(\displaystyle a=\color{blue}{3x},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{11y}.\)

Поэтому

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 3x \cdot 11y,\)

\(\displaystyle 2ab=66xy.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (3x\,)^2+\, \color{red}{ ?} \, +(11y\,)^2=(3x\,)^2+\color{red}{ 66xy} +(11y\,)^2,\)

и

\(\displaystyle (3x\,)^2+66xy +(11y\,)^2=(3x+11y\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (3x\,)^2+66xy +(11y\,)^2=(3x+11y\,)^2.\)