Дополнение до полного квадрата разности - 1

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle (7i\,)^2-\, \color{red}{ ?}+4^2\)

является полным квадратом разности, и необходимо найти удвоенное произведение.

Следовательно,

\(\displaystyle (7i\,)^2-\, \color{red}{ ?}+4^2=(a-b\,)^2,\)

\(\displaystyle (7i\,)^2-\, \color{red}{ ?}+4^2=a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Нам известны квадраты

\(\displaystyle a^{\, 2}=(7i\,)^2,\)

\(\displaystyle b^{\, 2}=4^2,\)

но неизвестно удвоенное произведение

\(\displaystyle 2ab=\,\color{red}{ ?}\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{7i}\) или \(\displaystyle \color{green}{-7i},\,b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{4}\) или \(\displaystyle \color{green}{-4}.\)

Поскольку параметр \(\displaystyle i\) положителен и нам требуется получить квадрат разности положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":

\(\displaystyle a=\color{blue}{7i},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{4}.\)

Тогда

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 7i\cdot 4,\)

\(\displaystyle 2ab=56i.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (7i\,)^2-\, \color{red}{ ?}+4^2=(7i\,)^2-\color{red}{56i}+4^2\)

и

\(\displaystyle (7i\,)^2-{\bf 56i}+4^2=({\bf 7i-4}\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (7i\,)^2-{\bf 56i}+4^2=({\bf 7i-4}\,)^2.\)