Дополнение до полного квадрата разности - 1

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle (3k\,)^2-\, \color{red}{ ?} +(7l\,)^2\)

является полным квадратом разности, и необходимо найти удвоенное произведение.

Следовательно,

\(\displaystyle (3k\,)^2-\, \color{red}{ ?} +(7l\,)^2=(a-b\,)^2,\)

\(\displaystyle (3k\,)^2-\, \color{red}{ ?} +(7l\,)^2=a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Нам известны квадраты

\(\displaystyle a^{\, 2}=(3k\,)^2,\)

\(\displaystyle b^{\, 2}=(7l\,)^2,\)

но неизвестно удвоенное произведение

\(\displaystyle 2ab=\,\color{red}{ ?}\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{3k}\) или \(\displaystyle \color{green}{-3k},\,b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{7l}\) или \(\displaystyle \color{green}{-7l}.\)

Поскольку параметры \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle l\) положительны и нам требуется получить квадрат разности положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":

\(\displaystyle a=\color{blue}{3k},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{7l}.\)

Тогда

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 3k\cdot 7l,\)

\(\displaystyle 2ab=42kl.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (3k\,)^2-\, \color{red}{ ?} +(7l\,)^2=(3k\,)^2-\color{red}{42kl} +(7l\,)^2\)

и

\(\displaystyle (3k\,)^2-{\bf 42kl} +(7l\,)^2=({\bf 3k-7l}\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (3k\,)^2-{\bf 42kl} +(7l\,)^2=({\bf 3k-7l}\,)^2.\)