Нам известно, что выражение
\(\displaystyle (4g\,)^2-\, \color{red}{ ?} +(3h\,)^2\)
является полным квадратом разности, и необходимо найти удвоенное произведение.
Следовательно,
\(\displaystyle (4g\,)^2-\, \color{red}{ ?} +(3h\,)^2=(a-b\,)^2,\)
\(\displaystyle (4g\,)^2-\, \color{red}{ ?} +(3h\,)^2=a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Нам известны квадраты
\(\displaystyle a^{\, 2}=(4g\,)^2,\)
\(\displaystyle b^{\, 2}=(3h\,)^2,\)
но неизвестно удвоенное произведение
\(\displaystyle 2ab=\,\color{red}{ ?}\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{4g}\) или \(\displaystyle \color{green}{-4g},\,b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{3h}\) или \(\displaystyle \color{green}{-3h}.\)
Поскольку параметры \(\displaystyle g\) и \(\displaystyle h\) положительны и нам требуется получить квадрат разности положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":
\(\displaystyle a=\color{blue}{4g},\)
\(\displaystyle b=\color{blue}{3h}.\)
Тогда
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 4g\cdot 3h,\)
\(\displaystyle 2ab=24gh.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (4g\,)^2-\, \color{red}{ ?} +(3h\,)^2=(4g\,)^2-\color{red}{24gh} +(3h\,)^2\)
и
\(\displaystyle (4g\,)^2-{\bf 24gh} +(3h\,)^2=({\bf 4g-3h}\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (4g\,)^2-{\bf 24gh} +(3h\,)^2=({\bf 4g-3h}\,)^2.\)