Skip to main content

Нахождение куба разности

• Демо - режим •
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

В демонстрационном режиме вы можете решить до 10 задач в день бесплатно.
После регистрации вы получите неделю бесплатного доступа ко всем разделам сайта!

 
 
Теория :: Пример

Найдите куб разности:
 

8^3-3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}-e^{\,3}=\big(\big)^3

Теория :: Решение

Первый способ.

Известно, что выражение 8^3-3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}-e^{\,3} является полным кубом разности.

Правило

Куб разности

Для любых чисел a, b верно

(a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.

Сравнивая равенства

\begin{align}
\begin{array}{r}
\color{blue}{a}^{\,3}\\
\color{blue}{8}^3
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{l}
-\\
-
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\
3\cdot \color{blue}{8}^2\cdot \color{green}{e}
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{l}
+\\
+
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\
3\cdot \color{blue}{8}\cdot \color{green}{e}^{\,2}
\end{array}
\begin{array}{l}
-\color{green}{b}^{\,3}\\
-\color{green}{e}^{\,3}
\end{array}
\begin{array}{l}
=(\color{blue}{a}-\color{green}{b}\,)^3\\
=(\,\color{blue}{?\,}-\,\color{green}{?\,})^3,
\end{array}
\end{align}

видим, что они в точности совпадают, если a=8 и b=e.

Поэтому 

8^3-3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}-e^{\,3}=(8-e\,)^3.


Ответ: ({\bf 8}-{\pmb e}\,)^3.

 

Второй способ.

Известно, что выражение 8^3-3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}-e^{\,3} является полным кубом разности.

Значит,

8^3-3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}-e^{\,3}=(a-b\,)^3

для некоторых a и b, которые надо найти.

Напомним формулу "куб разности".

Правило

Куб разности

Для любых чисел a, b верно

(a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.

Следовательно,

8^3-3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}-e^{\,3}=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.

Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,

\color{blue}{a^{\, 3}}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{8^3}-3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}-\color{green}{e^{\,3}},

\color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{8^3} и \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{e^{\,3}}.

Тогда можно предположить, что a=8 и b=e.

1. Очевидно, что два равенства \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{8^3} и \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{e^{\,3}} выполняются.

2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений

-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=-3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}

при a=8 и b=e.

Подставляем a=8 и b=e и получаем -3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}=-3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}, верное равенство.

 

В итоге мы получили равенство

8^{\,3}-3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}-e^{\,3}=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}

при a=8 и b=e.

Следовательно,

8^3-3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}-e^{\,3}=(a-b\,)^3

при a=8 и b=e, то есть

8^3-3\cdot 8^2\cdot e+3\cdot 8\cdot e^{\,2}-e^{\,3}=(8-e\,)^3.


Ответ: ({\bf 8}-{\pmb e}\,)^3.

Понятно, дальше  
Учебные блоки

1 /  8

Было проблемных задач: 0
0 из 100