ПравилоРазность кубов
Для любых чисел a, b верно
a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).
Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:
(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.
Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:
\begin{align}
\begin{array}{c}
{\color{blue}{(a-b\,)}}\\
\color{blue}{(x-y\,)}
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\
\color{green}{(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})}
\end{array}
\begin{array}{l}
=a^{\,3}-b^{\,3},\\
=\,?
\end{array}
\end{align}
Можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:
\begin{align}
\color{blue}{(x-y\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\
\color{green}{(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}.
\end{align}
Данные равенства верны при a=x и b=y. Следовательно,
\begin{align}
\begin{array}{c}
{\color{blue}{(a-b\,)}}\\
{\small |\;|}\\
\color{blue}{(x-y\,)}
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\
{\small |\;|}\\
\color{green}{(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})}
\end{array}
\begin{array}{c}
=\\
\phantom{=}\\
=
\end{array}
\begin{array}{c}
\color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\
{\small |\;|}\\
\color{red}{x^{\,3}-y^{\,3}}
\end{array}
\end{align}
Таким образом,
(x-y\,)(x^{\, 2}+xy+y^{\,2})=x^{\,3}-y^{\,3}.
Ответ: {\bf x}^{\,3}-{\bf y}^{\,3}.
Замечание / комментарийНеполный квадрат суммы
Выражение
a^{\,2}+ab+b^{\,2}
называется неполным квадратом суммы параметров a и b.