ПравилоРазность кубов
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).\)
Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:
\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)
Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned}
\begin{array}{c}
{\color{blue}{(a-b\,)}}\\
\color{blue}{(u-v\,)}
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\
\color{green}{(u^{\, 2}+uv+v^{\,2})}
\end{array}
\begin{array}{l}
=a^{\,3}-b^{\,3},\\
=\,?
\end{array}
\end{aligned}\)
Можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:
\(\displaystyle \begin{aligned}
\color{blue}{(u-v\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\
\color{green}{(u^{\, 2}+uv+v^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}.
\end{aligned}\)
Данные равенства верны при \(\displaystyle a=u\) и \(\displaystyle b=v.\) Следовательно,
\(\displaystyle \begin{aligned}
\begin{array}{c}
{\color{blue}{(a-b\,)}}\\
{\small |\;|}\\
\color{blue}{(u-v\,)}
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\
{\small |\;|}\\
\color{green}{(u^{\, 2}+uv+v^{\,2})}
\end{array}
\begin{array}{c}
=\\
\phantom{=}\\
=
\end{array}
\begin{array}{c}
\color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\
{\small |\;|}\\
\color{red}{u^{\,3}-v^{\,3}}
\end{array}
\end{aligned}\)
Таким образом,
\(\displaystyle (u-v\,)(u^{\, 2}+uv+v^{\,2})=u^{\,3}-v^{\,3}.\)
Ответ: \(\displaystyle {\bf u}^{\,3}-{\bf v}^{\,3}.\)
Замечание / комментарийНеполный квадрат суммы
Выражение
\(\displaystyle a^{\,2}+ab+b^{\,2}\)
называется неполным квадратом суммы параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)