Нахождение разности кубов

Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:

\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)

Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ \color{blue}{(m-n\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{(m^{\, 2}+mn+n^{\,2})} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}-b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)

Можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{(m-n\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\ \color{green}{(m^{\, 2}+mn+n^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}. \end{aligned}\)

Данные равенства верны при \(\displaystyle a=m\) и \(\displaystyle b=n.\) Следовательно,

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ {\small |\;|}\\ \color{blue}{(m-n\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ {\small |\;|}\\ \color{green}{(m^{\, 2}+mn+n^{\,2})} \end{array} \begin{array}{c} =\\ \phantom{=}\\ = \end{array} \begin{array}{c} \color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\ {\small |\;|}\\ \color{red}{m^{\,3}-n^{\,3}} \end{array} \end{aligned}\)

Таким образом,

\(\displaystyle (m-n\,)(m^{\, 2}+mn+n^{\,2})=m^{\,3}-n^{\,3}.\)

Ответ: \(\displaystyle {\bf m}^{\,3}-{\bf n}^{\,3}.\)