Skip to main content

Разложение на множители, метод группировки (* доп. раздел)

• Демо - режим •
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

В демонстрационном режиме вы можете решить до 10 задач в день бесплатно.
После регистрации вы получите неделю бесплатного доступа ко всем разделам сайта!

 
 
Теория :: Пример

Дополните правильные варианты группировки слагаемых и разложите на множители в произведение двучлена и трехчлена:
 

\color{red}{10x^{\,13}}+20x^{\,5}+\color{red}{15x^{\, 9}}+\color{blue}{6x^{\,4}}+4x^{\,8}+\color{blue}{8}=
=(\color{red}{10x^{\,13}}+\color{red}{15x^{\, 9}}+
20x^5
)+(
4x^8
+\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{8})=
=\big(
2x^8+3x^4+4
\big)\big(
5x^5+2
\big)
Теория :: Решение

Запишем данный многочлен в стандартном виде:

10x^{\,13}+20x^{\,5}+15x^{\, 9}+6x^{\,4}+4x^{\,8}+8=10x^{\,13}+15x^{\, 9}+4x^{\,8}+20x^{\,5}+6x^{\,4}+8{\small .}

Нам изначально известно, что данный многочлен является произведением двух многочленов, в одном из которых только три слагаемых, а в другом – два. Поэтому будем группировать по три слагаемых и найдем недостающие одночлены в данной правильной группировке:

\color{red}{10x^{\,13}}+20x^{\,5}+\color{red}{15x^{\, 9}}+\color{blue}{6x^{\,4}}+4x^{\,8}+\color{blue}{8}=(\color{red}{10x^{\,13}}+\color{red}{15x^{\, 9}}+{\bf ?}\,)+(\, {\bf ?}+\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{8}){\small .}
 

Так как только два одночлена 20x^{\,5} и 4x^{\,8} не используются в данной группировке, то существуют всего два возможных варианта:

1) 10x^{\,13}+20x^{\,5}+15x^{\, 9}+6x^{\,4}+4x^{\,8}+8=(10x^{\,13}+15x^{\, 9}+\color{red}{20x^{\,5}})+(\color{blue}{4x^{\,8}}+6x^{\,4}+8){\small ,}

2) 10x^{\,13}+20x^{\,5}+15x^{\, 9}+6x^{\,4}+4x^{\,8}+8=(10x^{\,13}+15x^{\, 9}+\color{red}{4x^{\,8}})+(\color{blue}{20x^{\,5}}+6x^{\,4}+8){\small .}

 

Будем рассматривать каждый из предложенных вариантов, пока не встретим разложение в произведение.

1. Рассмотрим первый вариант:

10x^{\,13}+20x^{\,5}+15x^{\, 9}+6x^{\,4}+4x^{\,8}+8=(10x^{\,13}+15x^{\, 9}+\color{red}{20x^{\,5}})+(\color{blue}{4x^{\,8}}+6x^{\,4}+8){\small .}

 

Вынесем общий множитель для выражения в первой скобке (10x^{\,13}+15x^{\, 9}+20x^{\,5}){\small .}

  1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов 10,\ 15 и 20 равен НОД(10,15,20)=5{\small .}
  2. Переменная x в наименьшей степени (выбираем из x^{\,13},\, x^{\,9} и x^{\,5}) равна  x^{\,5}{\small .}

Значит, общий множитель для (10x^{\,13}+15x^{\, 9}+20x^{\,5}) равен 5x^{\, 5}{\small .} Вынося его за скобки, получаем:

10x^{\,13}+15x^{\, 9}+20x^{\,5}=5x^{\, 5}(2x^{\,8}+3x^{\, 4}+4){\small .}

 

Вынесем общий множитель для выражения во второй скобке (4x^{\,8}+6x^{\,4}+8){\small .} Так как последнее слагаемое – это число, то можно вынести только общий числовой множитель.

Наибольший общий делитель числовых коэффициентов 4,\ 6 и 4 равен НОД(4,6,4)=2{\small .} Поэтому

4x^{\,8}+6x^{\,4}+8=2(2x^{\,8}+3x^{\,4}+4){\small .}

Тогда

10x^{\,13}+15x^{\, 9}+20x^{\,5}=5x^{\, 5}\color{blue}{(2x^{\,8}+3x^{\, 4}+4)}

и

4x^{\,8}+6x^{\,4}+8=2\color{blue}{(2x^{\,8}+3x^{\,4}+4)}{\small .}

Оба выражения имеют общий множитель \color{blue}{(2x^{\,8}+3x^{\,4}+4)}{\small .} Вынесем его за скобки:

5x^{\, 5}\color{blue}{(2x^{\,8}+3x^{\, 4}+4)}+2\color{blue}{(2x^{\,8}+3x^{\,4}+4)}=\color{blue}{(2x^{\,8}+3x^{\,4}+4)}(5x^{\,5}+2){\small .}

Мы получили разложение на множители, следовательно, нет необходимости рассматривать второй вариант группировки слагаемых в скобках.

Таким образом,


\begin{array}{rl}
10x^{\,13}+20x^{\,5}+15x^{\, 9}+6x^{\,4}+4x^{\,8}+8 &=(10x^{\,13}+15x^{\, 9}+{\bf 20}{\pmb x}^{\,{\bf 5}})+({\bf 4}{\pmb x}^{\,{\bf 8}}+6x^{\,4}+8)=\\
&=({\bf 2}{\pmb x}^{\,{\bf 8}}+{\bf 3}{\pmb x}^{\,{\bf 4}}+{\bf 4})({\bf 5}{\pmb x}^{\,{\bf 5}}+{\bf 2}).
\end{array}

Ответ: (2x^{\,8}+3x^{\,4}+4)(5x^{\,5}+2){\small .}

Понятно, дальше  
Учебные блоки

1 /  8

Было проблемных задач: 0
0 из 100