Skip to main content

Лекция: Лекции по теме формулы сокращенного умножения (вторая степень)

Задание

Геометрическое доказательство формулы "квадрат суммы":

Правило

Квадрат суммы

Для любыx положительных чисел \(\displaystyle a,\, b\) верно следующее тождество:

\(\displaystyle (a+b\,)^{\, 2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}.\)

Решение

Так как \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) – это положительные числа, то мы можем построить квадрат со стороной, равной \(\displaystyle a+b\) (например, сантиметров):

Площадь данного квадрата равна \(\displaystyle (a+b)^2\) (сантиметров квадратных).

 

Разобьем каждую сторону квадрата на две части длиной \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) так, как это показано на рисунке:

Квадрат со стороной \(\displaystyle a+b\) состоит из:

1) квадрата со стороной \(\displaystyle a,\)

2) квадрата со стороной \(\displaystyle b,\)

3) двух прямоугольников со сторонами \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Поэтому площадь квадрата со стороной \(\displaystyle a+b\) равна сумме площадей квадрата со стороной \(\displaystyle a\), квадрата со стороной \(\displaystyle b\) и двух прямоугольников со сторонами \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\):

Площадь большого квадрата равна сумме площадей фигур, из которых он составлен.

 

 

Найдем площадь каждой из фигур.

Площадь квадрата со стороной \(\displaystyle a\) равна \(\displaystyle a^{\,2}\):

\(\displaystyle =a^{\,2}\)

Площадь прямоугольника со сторонами \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) равна \(\displaystyle a\cdot b\):

\(\displaystyle =a\cdot b\)
\(\displaystyle =a\cdot b\)

Площадь квадрата со стороной \(\displaystyle b\) равна \(\displaystyle b^{\,2}\):

\(\displaystyle =b^{\,2}\)

Найдем площадь квадрата со стороной \(\displaystyle a+b\) двумя способами – по определению и как сумму площадей фигур, из которых он состоит.

\(\displaystyle (a+b\,)^2=\)

 

 

\(\displaystyle =a^{\,2 }+\underbrace{a\cdot b+a\cdot b}_{2ab}+b^{\,2}=a^{\,2}+2ab+b^{\,2}.\)

 

Таким образом, мы получили формулу:

\(\displaystyle (\pmb{a}+\pmb{b}\,)^2=\pmb{a}^{\,2}+2ab+\pmb{b}^{\,2}.\)