Skip to main content

Лекция: Теория решений квадратных уравнений

Задание

Решение элементарного квадратного уравнения

\(\displaystyle x^2=a{\small.}\)

  • если  \(\displaystyle a>0{\small ,}\) то уравнение имеет два решения \(\displaystyle x= \sqrt{a}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \)
  • если  \(\displaystyle a= 0{\small ,}\) то уравнение имеет решение \(\displaystyle x=0\) (два совпадающих);
  • если  \(\displaystyle a<0{\small ,}\)  то уравнение не имеет решений.
Решение

Имеется уравнение

\(\displaystyle x^2=a{\small.}\)

Возможны три случая:

1. \(\displaystyle \color{green}{ a>0} \)

Перепишем квадратное уравнение, перенеся \(\displaystyle a \) влево:

\(\displaystyle x^2=a{\small ,}\)

\(\displaystyle x^2-a=0{\small .}\)

Представим \(\displaystyle a \) в виде квадрата \(\displaystyle a=(\sqrt{a})^2{\small : } \)

\(\displaystyle x^2-(\sqrt{a})^2=0{ \small ,}\)

и разложим выражение слева по формуле разности квадратов:

\(\displaystyle (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0{\small . }\)

Получилось, что произведение двух множителей равно нулю. Это возможно только в случае, когда хотя бы один из них равен нулю:

\(\displaystyle x-\sqrt{a}=0 \) или \(\displaystyle x+\sqrt{a}=0{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle \color{blue}{ x=\sqrt{a}} \) или \(\displaystyle \color{blue}{ x=-\sqrt{a}}{\small .} \)

2. \(\displaystyle \color{green}{ a=0} \)

Уравнение принимает вид

\(\displaystyle x^2=0\)
или
\(\displaystyle x\cdot x=0{\small .} \)

Опять произведение двух множителей равно нулю. Значит, хотя бы один из них должен быть равен нулю:

\(\displaystyle x=0 \) или \(\displaystyle x=0{ \small ,} \)
или просто
\(\displaystyle \color{blue}{ x =0}{\small .}\)

3. \(\displaystyle \color{green}{ a<0} \)

Тогда

\(\displaystyle x^2=a{ \small ,} \)

причем слева стоит число неотрицательное (как квадрат числа), а справа – отрицательное.

Это невозможно (в действительных числах), поэтому уравнение не имеет решений.