Skip to main content

Теория: Введение в метод интервалов (в стадии наполнения)

Задание

Выберите значения переменной \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых функция обращается в ноль или не существует:

\(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}{\small .}\)

Решение

Воспользуемся следующими двумя свойствами рациональной функции:

  • Если рациональная функция при \(\displaystyle x=x_0\) обращается в ноль, то \(\displaystyle x_0\) – корень числителя.
  • Если при \(\displaystyle x=x_0\) значение рациональной функции не определено (или говорят, что оно не существует), то \(\displaystyle x_0\) – корень знаменателя.

Дана рациональная функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}{\small .} \)

Следовательно, надо выбрать те значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) в которых \(\displaystyle (x-2)x \) или \(\displaystyle (x^3-3x^2-x+3)x \) равны нулю.

\(\displaystyle x=0 \) – корень числителя \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}\)

Подставляя \(\displaystyle x=0 \) в числитель \(\displaystyle (x-2)x { \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle (0-2)\cdot 0=0{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle x=0\) – корень числителя \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}{\small .} \)

\(\displaystyle x=-1 \) – корень знаменателя \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}\)

Подставляя \(\displaystyle x=-1\) в числитель \(\displaystyle (x-2)x { \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle (-1-2)\cdot (-1)\,\cancel{=}\,0{\small .} \)

Подставляя \(\displaystyle x=-1\) в знаменатель \(\displaystyle (x^3-3x^2-x+3)x{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle (-1)^3-3\cdot (-1)^2-(-1)+3)\cdot (-1)=0{\small .} \)

Следовательно, \(\displaystyle x=-1\) – корень знаменателя \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}{\small .} \)

\(\displaystyle x=-2\) не является корнем ни числителя, ни знаменателя \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}\)

Подставляя \(\displaystyle x=-2\) в числитель \(\displaystyle (x-2)x { \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle (-2-2)\cdot (-2)=8\,\cancel{=}\,0{\small .} \)

Подставляя \(\displaystyle x=-2\) в знаменатель \(\displaystyle (x^3-3x^2-x+3)x{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle ((-2)^3-3\cdot (-2)^2-(-2)+3)\cdot (-2)=30{\small ,} \)

\(\displaystyle 30\,\cancel{=}\,0{\small .} \)

Следовательно, \(\displaystyle x=-2\) не является корнем ни числителя, ни знаменателя \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}{\small .} \)

\(\displaystyle x=4\) не является корнем ни числителя, ни знаменателя \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}\)

Подставляя \(\displaystyle x=4\) в числитель \(\displaystyle (x-2)x { \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle (4-2)\cdot 4\cancel{=}\,0{\small .} \)

Подставляя \(\displaystyle x=4\) в знаменатель \(\displaystyle (x^3-3x^2-x+3)x{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle (4^3-3\cdot 4^2-4+3)\cdot 4=60{\small ,}\)

\(\displaystyle 60\,\cancel{=}\,0{\small .} \)

Следовательно, \(\displaystyle x=4\) не является корнем ни числителя, ни знаменателя \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}{\small .} \)