Skip to main content

Теория: Онлайн-урок по теории вероятности-1

Задание

В классе \(\displaystyle 26\) семиклассников, среди них два близнеца — Иван и Игорь. Класс случайным образом делят на две группы, по \(\displaystyle 13\) человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах.

0,52
Решение

Первый способ.

Найдем число возможных мест для Игоря.

В той группе, где находится Иван, есть\(\displaystyle 12\) мест, которые может занять Игорь. В другой группе есть  \(\displaystyle 13 \) мест, которые может занять Игорь.

Следовательно, общие число исходов равно числу мест, которые может занять Игорь, и равно \(\displaystyle 12+13=25{\small .}\)

Число благоприятных исходов равно числу свободных мест в группе, где нет Ивана, то есть равно \(\displaystyle 13{\small .}\)

По определению, вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:

\(\displaystyle \frac{13}{25}=0{,}52{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle 0{,}52{\small .}\)

Второй способ.

Число всех возможных исходов – это общее число возможных групп по \(\displaystyle 13\) человек из \(\displaystyle 26{ \small ,}\) то есть

\(\displaystyle C_{26}^{13}=\frac{26!}{13!(26-13)!}=\frac{26!}{13! \cdot 13!}{\small .}\)

Число благоприятных исходов равно числу групп из \(\displaystyle 13\) человек, в которые будет входить Иван, но не будет входить Игорь, или будет входить Игорь, но не будет входить Иван. Найдем число таких групп.

Пусть в группе одно место занято Иваном, тогда остаются свободными только \(\displaystyle 12\) мест. Однако, эти \(\displaystyle 12\) мест могут занять любые семиклассники, кроме Ивана (так как он уже в группе) и кроме Игоря (так как он не должен быть в этой группе). Таким образом, число таких групп равно числу выборов по \(\displaystyle 12\) из \(\displaystyle 24\) ( \(\displaystyle 26-2\)):

\(\displaystyle C_{24}^{12}=\frac{24!}{12!(24-12)!}=\frac{24!}{12!\cdot 12!}{\small .}\)

Аналогично, если одно место в группе занято Игорем, получаем, что число таких групп равно

\(\displaystyle C_{24}^{12}=\frac{24!}{12!(24-12)!}=\frac{24!}{12!\cdot 12!}{\small .}\)

Тогда общее число таких групп равно

\(\displaystyle \frac{24!}{12!\cdot 12!}+\frac{24!}{12!\cdot 12!}=2\cdot\frac{24!}{12!\cdot 12!}{\small .}\)

По определению, вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:

\(\displaystyle \frac{2 \cdot 24!}{12!\cdot 12!}:\frac{26!}{13! \cdot 13!}=\frac{2 \cdot 24! \cdot 13! \cdot 13!}{12!\cdot 12! \cdot 26!}=\frac{2 \cdot 13 \cdot 13}{25 \cdot 26}=\frac{13}{25}=0{,}52{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle 0{,}52{\small .}\)