Skip to main content

Теория: Онлайн-урок по теории вероятности-1

Задание

Два стрелка Билл и Джо стреляют по мишени. Вероятность того, что

Билл промахнется по мишени равна \(\displaystyle 0{,} 2{\small , }\)

Джо попадет по мишени равна\(\displaystyle 0{,}7{\small . }\)

Найдите вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет по мишени.

0,94
Решение

Пусть событие \(\displaystyle A\) –  Билл попадет по мишени (тогда противоположное \(\displaystyle \bar{A}\) событие – стрелок Билл промахнется).

По условию дано, что \(\displaystyle P(\bar{A})=0{,}2{\small .}\) Так как \(\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A){ \small ,}\) то

\(\displaystyle P(A)=1-P(\bar{A})=1-0{,}2=0{,}8{\small .}\)

Пусть событие \(\displaystyle B\) – Джо попадет по мишени (тогда противоположное \(\displaystyle \bar{B}\) событие – стрелок Джо промахнется).

По условию дано, что \(\displaystyle P(B)=0{,}7{\small .}\) Так как \(\displaystyle P(\bar{B})=1-P(B){ \small ,}\) то

\(\displaystyle P(B)=1-P(\bar{B})=1-0{,}7=0{,}3{\small .}\)

Первый способ.
Событие, что хотя бы один стрелок попадет по мишени состоит из событий:

(Джо попал и Билл попал) или (Джо промахнулся и Билл попал) или (Джо попал и Билл промахнулся),

то есть

\(\displaystyle A\cdot B+\bar{A}\cdot B+A\cdot \bar{B}{\small .}\)

Каждая пара событий несовместна, то есть не может произойти одновременно, тогда

\(\displaystyle P(A\cdot B+\bar{A}\cdot B+A\cdot \bar{B})=P(A\cdot B)+P(\bar{A}\cdot B)+P(A\cdot \bar{B}){\small .}\)

Так как оба стрелка стреляют независимо, то событие попадания/промаха стрелка Билла не зависит от попадания/промаха стрелка Джо. Тогда

\(\displaystyle P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B){ \small ,}\)

\(\displaystyle P(\bar{A}\cdot B)=P(\bar{A})\cdot P(B){ \small ,}\)

\(\displaystyle P(A\cdot \bar{B})=P(A)\cdot P(\bar{B}){\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle \begin{aligned} P(A\cdot B+\bar{A}\cdot B+A\cdot \bar{B})&=P(A\cdot B)+P(\bar{A}\cdot B)+P(A\cdot \bar{B})=\\&=P(A)\cdot P(B)+P(\bar{A})\cdot P(B)+P(A)\cdot P(\bar{B})=\\&=0{,}8\cdot 0{,}7+0{,}2\cdot 0{,}7+0{,}8\cdot 0{,}3=0{,}94{\small .}\end{aligned}\)

Ответ:\(\displaystyle 0{,}94{\small .}\)

Второй способ.

Рассмотрим противоположное событие к искомому событию "хотя бы один стрелок попадет по мишени". Это событие, что ни один из стрелков не попадет в мишень. Оно состоит из того, что

Билл промахнется и Джо промахнется,

\(\displaystyle \bar{A}\cdot \bar{B}{\small .}\)

Так как промах стрелка Билла не зависит от промаха стрелка Джо по условию, то

\(\displaystyle P(\bar{A}\cdot \bar{B})=P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})=0{,}2\cdot 0{,}3=0{,}06{\small .}\)

Мы нашли вероятность противоположного события к искомому. Значит, вероятность искомого события равна

\(\displaystyle 1-0{,}06=0{,}94{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle 0{,}94{\small .}\)