Skip to main content

Теория: 09 Элементарные неравенства с модулем на полуинтервале (в стадии наполнения)

Задание

Опираясь на определение модуля, составьте совокупность систем неравенств, эквивалентных неравенству

\(\displaystyle |x| \ge 3{\small .}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[5px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\ge 0{\small ,}\)
\(\displaystyle x\)
или
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[5px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x<0{\small ,}\)
\(\displaystyle -x\).

 

Решение

Определение

Модуль

Для переменной \(\displaystyle x\) функция модуль \(\displaystyle x{ \small ,}\) обозначаемая \(\displaystyle |x|{ \small ,}\) определена как

\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ если } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ если } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Согласно данному определению, получаем два случая:

  • \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
  • \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

То есть,

  • если \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) то \(\displaystyle x \ge 3{\small .}\) То есть
    \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x\ge 0{ \small ,}\\ x \ge 3{\small .} \end{aligned} \right.\)
  • если \(\displaystyle x< 0{ \small ,}\) то \(\displaystyle -x \ge 3{\small .}\) То есть
    \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x< 0{ \small ,}\\ -x \ge 3{\small .} \end{aligned} \right.\)

Таким образом, неравенство \(\displaystyle |x| \ge 3\) эквивалентно совукупности двух систем:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x\ge 0{ \small ,}\\ x \ge 3 \end{aligned} \right.\)или\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x<0 { \small ,}\\ -x \ge 3{\small .} \end{aligned} \right.\)