Skip to main content

Теория: 09 Элементарные неравенства с модулем на полуинтервале (в стадии наполнения)

Задание

Решите систему неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -4{ \small ,}\\|x|&> 3{\small .}\end{aligned}\right.\)


\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Определение

Модуль

Для переменной \(\displaystyle x\) функция модуль \(\displaystyle x{ \small ,}\) обозначаемая \(\displaystyle |x|{ \small ,}\) определена как

\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ если } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ если } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Тогда, согласно данному определению, получаем два случая:

  • \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
  • \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

По условию задачи \(\displaystyle x \le -4{\small .}\) Следовательно, все \(\displaystyle x\) отрицательны и поэтому \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

Тогда система

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -4{ \small ,}\\|x|&> 3\end{aligned}\right.\)

эквивалентна системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -4{\small ,}\\-x&> 3{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим полученную систему, умножив второе уравнение на  \(\displaystyle -1\) и меняя знак неравенства на противоположный:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -4\\-x&> 3 \,| \cdot (\color{blue}{ -1})\end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -4{ \small ,}\\x&< -3{\small .}\end{aligned}\right.\)


Решим получившуюся систему линейных неравенств.

Неравенство \(\displaystyle x\le -4\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x<-3\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше либо равна \(\displaystyle -4\) и меньше \(\displaystyle -3{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, ответ – \(\displaystyle x\in (-\infty;-4]{\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-4]{\small .} \)