Skip to main content

Теория: 09 Элементарные неравенства с модулем на полуинтервале (в стадии наполнения)

Задание

Решите систему неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -4{ \small ,}\\|x|&\le 8{\small .}\end{aligned}\right.\)


\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Определение

Модуль

Для переменной \(\displaystyle x\) функция модуль \(\displaystyle x{ \small ,}\) обозначаемая \(\displaystyle |x|{ \small ,}\) определена как

\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ если } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ если } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Тогда, согласно данному определению, получаем два случая:

  • \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
  • \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

По условию задачи \(\displaystyle x < -4{\small .}\) Следовательно, все \(\displaystyle x\) отрицательны и поэтому \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

Тогда система

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -4{ \small ,}\\|x|&\le 8\end{aligned}\right.\)

эквивалентна системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -4{\small ,}\\-x&\le 8{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим полученную систему, умножив второе уравнение на  \(\displaystyle -1\) и меняя знак неравенства на противоположный:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -4\\-x&\le 8 \,| \cdot (\color{blue}{ -1})\end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -4{ \small ,}\\x&\ge -8{\small .}\end{aligned}\right.\)


Решим получившуюся систему линейных неравенств.

Неравенство \(\displaystyle x< -4\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x\ge -8\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle -4\) и больше либо равна \(\displaystyle -8{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, ответ – \(\displaystyle x\in [-8;-4){\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle x\in [-8;-4){\small .} \)