Skip to main content

Теория: 02 Задачи на движение - 2

Задание

Из городов \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в \(\displaystyle B\) на \(\displaystyle 3\) часа раньше, чем велосипедист приехал в \(\displaystyle A{ \small ,}\) а встретились они через \(\displaystyle 120\) минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из \(\displaystyle B\) в \(\displaystyle A\) велосипедист?

часов.

Решение

Обозначим через \(\displaystyle AB \) расстояние от пункта \(\displaystyle A \) до пункта \(\displaystyle B{\small .} \)

Пусть \(\displaystyle x\) часов затратил на путь из \(\displaystyle B\) в \(\displaystyle A\) велосипедист. Так как мотоциклист приехал в \(\displaystyle B\) на \(\displaystyle 3\) часа раньше, чем велосипедист приехал в \(\displaystyle A{ \small ,}\) то мотоциклист на весь путь затратит \(\displaystyle x-3\) часов.

При этом скорость велосипедиста равна \(\displaystyle \frac{AB}{x}\) км/ч, скорость мотоциклиста равна \(\displaystyle \frac{AB}{x-3}\) км/ч.

Далее, поскольку велосипедист и мотоциклист встретились через \(\displaystyle 120\) минут (\(\displaystyle \frac{120}{60}\) часа),

то это можно интерпретировать, что у нас одна машина со скоростью \(\displaystyle \frac{AB}{x}+\frac{AB}{x-3}\)  проезжает расстояние от \(\displaystyle A\) до \(\displaystyle B\) за \(\displaystyle 120\) минут (\(\displaystyle \frac{120}{60}\) часа). То есть

\(\displaystyle \frac{AB}{\frac{AB}{x}+\frac{AB}{x-3}}=\frac{120}{60}{\small ,}\)

\(\displaystyle \frac{AB}{\frac{AB}{x}+\frac{AB}{x-3}}=\frac{10}{5}{\small .}\)

Решим полученное уравнение:

1) \(\displaystyle \frac{AB}{x}+\frac{AB}{x-3}=AB\frac{2x-3}{x(x-3)}{\small .}\)

2) \(\displaystyle \frac{AB}{\frac{AB}{x}+\frac{AB}{x-3}}=\frac{AB}{AB\frac{2x-3}{x(x-3)}}{\small .}\)

3) \(\displaystyle \frac{AB}{AB\frac{2x-3}{x(x-3)}}=\frac{x(x-3)}{2x-3}{\small .}\)

Поэтому получаем уравнение

\(\displaystyle \frac{x(x-3)}{2x-3}=\frac{10}{5}{ \small ,}\)

\(\displaystyle \frac{5x(x-3)-10(2x-3)}{5(2x-3)}=0{\small .}\)

Следовательно,

\(\displaystyle 5x(x-3)-10(2x-3)=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 5x^2-15x-20x+30=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 5x^2-35x+30=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=6\) и \(\displaystyle x_2=1{\small .}\)

Так как, \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle x-3\) не должны быть отрицательными, то \(\displaystyle x=6{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 6\) часов.