Из городов \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в \(\displaystyle B\) на \(\displaystyle 3\) часа раньше, чем велосипедист приехал в \(\displaystyle A{ \small ,}\) а встретились они через \(\displaystyle 120\) минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из \(\displaystyle B\) в \(\displaystyle A\) велосипедист?
Обозначим через \(\displaystyle AB \) расстояние от пункта \(\displaystyle A \) до пункта \(\displaystyle B{\small .} \)
Пусть \(\displaystyle x\) часов затратил на путь из \(\displaystyle B\) в \(\displaystyle A\) велосипедист. Так как мотоциклист приехал в \(\displaystyle B\) на \(\displaystyle 3\) часа раньше, чем велосипедист приехал в \(\displaystyle A{ \small ,}\) то мотоциклист на весь путь затратит \(\displaystyle x-3\) часов.
При этом скорость велосипедиста равна \(\displaystyle \frac{AB}{x}\) км/ч, скорость мотоциклиста равна \(\displaystyle \frac{AB}{x-3}\) км/ч.
Далее, поскольку велосипедист и мотоциклист встретились через \(\displaystyle 120\) минут (\(\displaystyle \frac{120}{60}\) часа),
то это можно интерпретировать, что у нас одна машина со скоростью \(\displaystyle \frac{AB}{x}+\frac{AB}{x-3}\) проезжает расстояние от \(\displaystyle A\) до \(\displaystyle B\) за \(\displaystyle 120\) минут (\(\displaystyle \frac{120}{60}\) часа). То есть
\(\displaystyle \frac{AB}{\frac{AB}{x}+\frac{AB}{x-3}}=\frac{120}{60}{\small ,}\)
\(\displaystyle \frac{AB}{\frac{AB}{x}+\frac{AB}{x-3}}=2{\small ,}\)
Решим полученное уравнение.
Преобразуем левую часть:
1) \(\displaystyle \frac{AB}{x}+\frac{AB}{x-3}={AB}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-3}\right)=AB \cdot\frac{2x-3}{x(x-3)}{\small ;}\)
2) \(\displaystyle \frac{AB}{\frac{AB}{x}+\frac{AB}{x-3}}=\frac{AB}{AB\cdot\frac{2x-3}{x(x-3)}}{\small ;}\)
3) \(\displaystyle \frac{AB}{AB\cdot\frac{2x-3}{x(x-3)}}=\frac{x(x-3)}{2x-3}{\small .}\)
Получаем уравнение
\(\displaystyle \frac{x(x-3)}{2x-3}=2{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{x(x-3)-2(2x-3)}{2x-3}=0{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle x(x-3)-2(2x-3)=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x^2-3x-4x+6=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x^2-7x+6=0{ \small .}\)
\(\displaystyle {\rm D}= (-7)^2-4\cdot 1 \cdot6=25=5^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{7+5}{2}=6{ \small ,} \)
\(\displaystyle x_2=\frac{7-5}{2}=1{ \small .} \)
Так как \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle x-3\) не должны быть отрицательными, то \(\displaystyle x=6{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 6\)