Skip to main content

Теория: 02 Задачи на движение - 2

Задание

Из пункта \(\displaystyle A\) круговой трассы выехал велосипедист. Через \(\displaystyle 30\) минут он еще не вернулся в пункт \(\displaystyle A\) и из пункта \(\displaystyle A\) следом за ним отправился мотоциклист. Через \(\displaystyle 10\) минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через \(\displaystyle 30\) минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна \(\displaystyle 16{,}5\) км. Ответ дайте в км/ч.

км/ч.

Решение

Пусть \(\displaystyle x\) км/ч – скорость мотоциклиста, а \(\displaystyle y\) км/ч – скорость велосипедиста.

Когда мотоциклист догнал велосипедиста, он ехал \(\displaystyle 30+10=40\) минут (\(\displaystyle \frac{40}{60}=\frac{2}{3}\) часа), а мотоциклист был в пути \(\displaystyle 10\) минут (\(\displaystyle \frac{10}{60}=\frac{1}{6}\) часа).

Поскольку за это время они проехали одинаковое расстояние, то получаем уравнение:

\(\displaystyle x\frac{1}{6}=y\cdot \frac{2}{3}{\small .}\)

Так как движение происходило по кругу, то мотоциклист догонит велосипедиста, когда с момента первой встречи он проедет такое же расстояние как велосипедист, и еще один круг.

Другими словами,

\(\displaystyle \frac{1}{2}x=\frac{1}{2}y+16,5{\small .}\)

Решим полученную систему линейных уравнений:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x\cdot \frac{1}{6}&=y\cdot \frac{2}{3}\\\frac{1}{2}x&=\frac{1}{2}y+16,5{\small .}\\\end{aligned}\right.\)

Из первого уравнения выразим \(\displaystyle x\) через \(\displaystyle y{\small : }\,x=4y{\small .}\) Подставляя во второе уравнение, получаем:

\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4y=\frac{1}{2}y+16,5{ \small ,}\)

\(\displaystyle 2y-\frac{1}{2}y=16,5{ \small ,}\)

\(\displaystyle 1{,}5y=16,5{ \small ,}\)

\(\displaystyle 1{,}5y:1{,}5=16,5:1{,}5{ \small ,}\)

\(\displaystyle y=11\) км/ч.

Тогда

\(\displaystyle x=4\cdot 11{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=44\) км/ч.

Ответ: \(\displaystyle 44\) км/ч.