Skip to main content

Теория: 02 Задачи на движение - 2

Задание

Расстояние между городами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) равно \(\displaystyle 32\) км. Из города \(\displaystyle A\) в город \(\displaystyle B\) выехал автомобиль, а через \(\displaystyle 20\) минут следом за ним со скоростью \(\displaystyle 144\) км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе \(\displaystyle C\) и повернул обратно. Когда он вернулся в \(\displaystyle A{ \small ,}\) автомобиль прибыл в \(\displaystyle B{\small .}\) Найдите расстояние от \(\displaystyle A\) до \(\displaystyle C{\small .}\) Ответ дайте в километрах.

км

Решение

Пусть \(\displaystyle x\) км – расстояние между городами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C{ \small ,}\) пусть \(\displaystyle y\) км/ч – скорость автомобилиста.

Тогда время, которое затратил автомобилист на путь в город \(\displaystyle C{ \small ,}\) равно \(\displaystyle \frac{x}{y}\) часов. Время, которое затратил мотоциклист для того, чтобы добраться до города \(\displaystyle C{ \small ,}\) равно \(\displaystyle \frac{x}{144}{\small .}\)

Так как мотоциклист выехал на \(\displaystyle \frac{20}{60}\) часа позже и догнал автомобилиста в городе \(\displaystyle C{ \small ,}\) то получаем уравнение:

\(\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{x}{144}+\frac{20}{60}{\small .}\)

Далее известно, что на обратную дорогу из города \(\displaystyle C\) в город \(\displaystyle A\) мотоциклист потратил то же время, что автомобилист из города \(\displaystyle C\) в город \(\displaystyle B\) (расстояние от города \(\displaystyle C\) до города \(\displaystyle B\) равно \(\displaystyle 32-x\) км). То есть

\(\displaystyle \frac{x}{144}=\frac{32-x}{y}{\small .}\)

Решим полученную систему уравнений:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\frac{x}{y}&=\frac{x}{144}+\frac{20}{60}{ \small ,}\\\frac{x}{144}&=\frac{32-x}{y}{\small .}\end{aligned}\right.\)

Из первого уравнения получаем, что

\(\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{x}{144}+\frac{1}{3}{ \small ,} \)

\(\displaystyle \frac{ x}{ y }=\frac{ x+48}{ 144 } \)

\(\displaystyle 144x=xy+48y{\small ,}\)

\(\displaystyle xy=144x-48y{\small .}\)

Из второго уравнения получаем:

\(\displaystyle xy=4608-144x{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle 144x-48y=4608-144x{ \small ,}\)

\(\displaystyle y=6x-96{\small .}\)

Подставляя в уравнение \(\displaystyle xy=4608-144x{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle x(6x-96)=4608-144x{ \small ,}\)

\(\displaystyle 6x^2+48x-4608=0{ \small ,}\)

разделим на \(\displaystyle 6{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2+8x-768=0{\small .}\)

Решим полученное квадратное уравнение:

\(\displaystyle \begin{aligned}{\rm D}=8^2-4\cdot1\cdot (-768)=8^2+4\cdot 8\cdot 2 \cdot 48=8^2\cdot (1+48)=\left(8 \cdot 7 \right)^2{ \small ,} \end{aligned}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{-8+\sqrt{\left(8 \cdot 7 \right)^2}}{2}=\frac{-8+56}{2}=24{\small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-8-\sqrt{\left(8 \cdot 7 \right)^2}}{2}=\frac{-8-56}{2}=-32{\small .}\)

Так как расстояние не может быть отрицательным, то наш ответ \(\displaystyle 24\) км.


Ответ:\(\displaystyle 24\) км.