От пристани \(\displaystyle А\) к пристани \(\displaystyle В{ \small ,}\) расстояние между которыми равно \(\displaystyle 420\) км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через \(\displaystyle 1\) час после этого следом за ним, со скоростью на \(\displaystyle 1\) км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт \(\displaystyle В\) оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
Пусть \(\displaystyle x \) км/ч – скорость первого теплохода. Тогда скорость второго теплохода равна \(\displaystyle (x+1) \) км/ч.
При этом время, затраченное первым теплоходом на весь путь, равно \(\displaystyle \color{blue}{ \frac{420}{ x }}{\small .} \)
Поскольку оба теплохода шли до пункта \(\displaystyle B{ \small ,} \) то второй теплоход также прошел \(\displaystyle 420 \) км, а время, которое он затратил на путь, составляет \(\displaystyle \color{green}{ \frac{420}{x+1}}{\small .} \)
Известно, что второй теплоход отправился на \(\displaystyle 1 \) час позже первого. Значит, разница во времени составила
\(\displaystyle \color{blue}{ \frac{420}{ x }}-\color{green}{ \frac{420}{x+1}}=1{\small .} \)
Решим полученное уравнение
\(\displaystyle \frac{420}{ x }-\frac{420}{x+1}-1=0{\small .} \)
Приведем к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{420(x+1)-420x-x(x+1)}{ x(x+1) }=0{\small .} \)
Поскольку \(\displaystyle x \) – это скорость, то \(\displaystyle x>0{\small .} \) Значит, \(\displaystyle x(x+1)>0 \) и можно перейти к уравнению
\(\displaystyle 420(x+1)-420x-x(x+1)=0{\small .} \)
Раскроем скобки и приведем подобные:
\(\displaystyle 420x+420-420x-x^2-x=0{\small ,} \)
\(\displaystyle -x^2-x+420=0{ \small ,}\,| \)разделим обе части на \(\displaystyle -1 \)
\(\displaystyle x^2+x-420=0{ \small .} \)
Решим полученное квадратное уравнение:
\(\displaystyle {\rm D}= (-1)^2-4\cdot (-420)=1+1680=1681=41^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-1+41}{2}=20{ \small ,} \)
\(\displaystyle x_2=\frac{-1-41}{2}=-21{ \small .} \)
Поскольку \(\displaystyle x \) – это скорость, то \(\displaystyle x>0{\small ,}\) откуда \(\displaystyle x=20\) км/ч.
Ответ: \(\displaystyle 20\)