Skip to main content

Теория: Обратная теорема Виета и решение квадратного уравнения (в целых числах)-2

Задание

Используя обратную теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:

\(\displaystyle -4x^2-2(5-3)x+5\cdot (-3)=0{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\)
\frac{5}{2}
,
 
\(\displaystyle x_2=\)
-\frac{3}{2}
.
Решение

Напомним обратную теорему Виета.

Правило

Обратная теорема Виета

Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[15px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)

то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)

Эта теорема применима только для квадратного уравнения со старшим коэффициентом, равным единице.

Преобразуем данное уравнение к этому виду, разделив обе части уравнения на его старший коэффициент:

\(\displaystyle \color{red}{ -4}x^2-2(5-3)x+5\cdot (-3)=0 \,| : \color{red}{ (-4)}{ \small ,}\)

\(\displaystyle \frac{\color{red}{ -4}}{ \color{red}{ -4 }}x^2-\frac{ 2(5-3)}{ \color{red}{ -4 }}x+\frac{ 5\cdot (-3)}{ \color{red}{ -4}}=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2-\frac{ (5-3)}{-2}x+\frac{ 5\cdot (-3)}{ -4}=0{ \small ,}\)

Посмотрим на коэффициенты в полученном уравнении :

\(\displaystyle x^2\color{green}{ -\frac{ (5-3)}{-2}}x+\color{blue}{ \frac{ 5\cdot (-3)}{ -4 }}=0{ \small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -\frac{ (5-3)}{-2}}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{ 5\cdot (-3)}{ -4 }}{\small .}\)

Для использования теоремы Виета нужно, чтобы коэффициенты \(\displaystyle \color{green}{ b }\) и \(\displaystyle \color{blue}{ c }\) были записаны через сумму и произведение одинаковых чисел.

Переписывая \(\displaystyle \color{green}{ b }\) и \(\displaystyle \color{blue}{ c }{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -\left(-\frac{5}{ 2}+\frac{ 3}{ 2}\right)}\) и \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \left(-\frac{ 5}{ 2}\right)\cdot \frac{3}{2}}{\small .}\)

Получили числа \(\displaystyle \color{red}{ -\frac{5}{ 2}}\) и \(\displaystyle \color{red}{ \frac{3}{ 2 }}\) такие, что

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ \left(-\frac{5}{ 2}\right)}+\color{red}{ \frac{3}{ 2 }}&=-b{ \small ,}\\[15px]\color{red}{ \left(-\frac{5}{ 2}\right)}\cdot \color{red}{ \frac{3}{ 2 }}&=c {\small .}\end{aligned}\right. \)

Значит, по обратной теореме Виета \(\displaystyle \color{red}{ -\frac{5}{ 2}}\) и \(\displaystyle \color{red}{ \frac{ 3}{ 2 }}\) – корни квадратного уравнения

\(\displaystyle -4x^2-2(5-3)x+5\cdot (-3)=0{\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle -\frac{5}{ 2}\) и \(\displaystyle \frac{ 3}{ 2 }{\small .} \)