Дана арифметическая прогрессия: \(\displaystyle a_1{ \small ,}\, a_2{ \small ,}\, a_3{ \small ,}\, a_4{ \small ,}\, …\)
Какой член прогрессии должен стоять справа, чтобы выполнялось верное равенство?
Запишем \(\displaystyle a_{10} \) и \(\displaystyle a_{12} \) через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{\small .} \) Тогда
\(\displaystyle a_{10} = a_1+9d\) и \(\displaystyle a_{12} = a_1+11d{\small .}\)
Складывая эти равенства, получаем:
\(\displaystyle a_{10}+a_{12} = (a_1+9d)+ (a_1+11d)=a_1+9d+ a_1+11d=2a_1+20d{\small .}\)
Вынесем \(\displaystyle 2 \) за скобки:
\(\displaystyle 2a_1+20d=2(a_1+10d){\small .}\)
По формуле для n-го члена
\(\displaystyle a_1+10d=a_{11}{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle a_{10}+a_{12}=2a_{11}{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle a_{10}+a_{12}=2\boldsymbol{a_{11}}{\small .} \)