Skip to main content

Теория: 04 Вычисления, связанные с характеристическим свойством геометрической прогрессии

Задание

Известно, что в геометрической прогрессии \(\displaystyle b_{6}< 0{\small ,}\) а также 

\(\displaystyle b_{2} \cdot b_{10} = 16{\small .}\)

Найти 

\(\displaystyle b_{6}=\)
-4
Решение

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогресссии.

Правило

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)

\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=k+l{\small .}\)

Перепишем \(\displaystyle b_2\cdot b_{10} \) таким образом, чтобы можно было воспользоваться правилом:

\(\displaystyle b_2\cdot b_{10}=b_{\color{red}{ 6}-\color{blue}{ 4}}\cdot b_{\color{red}{ 6}+\color{blue}{ 4}} \).

Тогда по характеристическому свойству геометрической прогрессии получаем:

\(\displaystyle b_{\color{red}{ 6}-\color{blue}{ 4}}\cdot b_{\color{red}{ 6}+\color{blue}{ 4}}= b_\color{red}{ 6}^2{\small .} \)

Тогда

\(\displaystyle b_{6}^2=b_{2}\cdot b_{10}{\small , }\)

\(\displaystyle b_{6}^2=16{\small , }\)

\(\displaystyle b_{6}=4\) или \(\displaystyle b_{6}=-4{\small .} \)

Так как по условию \(\displaystyle b_{6}<0{ \small ,} \) то \(\displaystyle b_6=-4{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle -4{\small .}\)