Skip to main content

Теория: 04 Вычисления, связанные с характеристическим свойством геометрической прогрессии

Задание

Известно, что в геометрической прогрессии

\(\displaystyle b_{15}= -3.\)

Найти 

\(\displaystyle b_{9} \cdot b_{12} \cdot b_{14} \cdot b_{16} \cdot b_{18} \cdot b_{21}=\)
729
Решение

Правило

Обобщенное характеристическое свойство геометрической прогрессии

\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)

\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=k+l{\small .}\)

Согласно обобщенному характеристическому свойству геометрической прогрессии,

\(\displaystyle \color{red}{ b_{9} \cdot b_{21}} = \color{red}{ b_{15}^2}{ \small ,}\,\color{blue}{ b_{12} \cdot b_{18}} = \color{blue}{ b_{15}^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{ b_{14} \cdot b_{16}} = \color{green}{ b_{15}^2}\)

Тогда, группируя слагаемые в исходном равенстве, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{red}{ b_{9}} \cdot\color{blue}{ b_{12}}\cdot\color{green}{ b_{14}}\cdot \color{green}{ b_{16}}\cdot \color{blue}{ b_{18}}\cdot \color{red}{ b_{21}}&= (\color{red}{ b_{9} \cdot b_{21}})\cdot (\color{blue}{ b_{12} \cdot b_{18}})\cdot (\color{green}{ b_{14} \cdot b_{16}})=\\&=\color{red}{ b_{15}^2}\cdot \color{blue}{ b_{15}^2}\cdot \color{green}{ b_{15}^2}=b_{15}^6{ \small .}\end{aligned}\)

Значит, так как по условию \(\displaystyle b_{15}=-3{ \small ,} \) то 

\(\displaystyle b_{9} \cdot b_{12} \cdot b_{14} \cdot b_{16} \cdot b_{18} \cdot b_{21} =(-3)^6=729{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 729{\small .}\)