Skip to main content

Теория: 04 Вычисления, связанные с характеристическим свойством геометрической прогрессии

Задание

Известно, что в геометрической прогрессии

\(\displaystyle b_5 = \frac{1}{2}{\small .}\)

Найти произведение \(\displaystyle P_9\) первых девяти членов данной прогрессии.

\(\displaystyle P_9=\)
\frac{1}{512}
Решение

Решение 1.

Найдем произведение

\(\displaystyle P_{9}=b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_{9}{ \small ,} \)

используя характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Правило

Обобщенное характеристическое свойство геометрической прогрессии

\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n\cdot k}\)

\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n\cdot m=k\cdot l{\small .}\)

Согласно этому свойству,

\(\displaystyle b_1 \cdot b_{9} = b_{5}^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle b_2 \cdot b_{8} = b_{5}^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle \ldots \)

\(\displaystyle b_{4} \cdot b_{6} = b_{5}^2{ \small .}\)

Всего таких пар будет четыре, так как в первой паре есть первый элемент, во второй – второй, и т.д., а в последней – четвертый. 

Выделим эти пары в исходном произведении \(\displaystyle P_{9}{\small .} \)

Тогда будут использованы все элементы, за исключением пятого.

Получаем:

\(\displaystyle P_{9} = b_1 \cdot b_2 \cdot ... \cdot b_{9} { \small ,}\)

\(\displaystyle P_{9} = (b_1 \cdot b_{9})\cdot (b_2 \cdot b_{8})\cdot \ldots\cdot (b_{4} \cdot b_{6}) \cdot b_{5}{ \small ,}\)

\(\displaystyle P_{9} = \underbrace{b_{5}^2 \cdot b_{5}^2 \cdot ... \cdot b_{5}^2}_{4 \text{ раза}}\cdot b_{5}{ \small ,}\)

\(\displaystyle P_{9} = (b_{5}^2)^4\cdot b_{5}{ \small ,}\)

\(\displaystyle P_{9} = b_{5}^9{ \small .}\)

Так как по условию \(\displaystyle b_{5}=\frac{1}{2}{ \small ,} \) то

\(\displaystyle P_{9} = \left(\frac{1}{2}\right)^9{ \small ,}\) 

\(\displaystyle P_{9} = \frac{1}{512}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{512}{\small .}\)


Решение 2.

Выразим произведение

\(\displaystyle P_{9}=b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_{9} \)

через \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{\small .} \)

Поскольку

\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q{ \small ,}\quad b_3=b_1\cdot q^2{ \small ,}\quad \ldots{ \small ,}\quad b_{9}=b_1\cdot q^8{ \small ,} \)

то получаем:

\(\displaystyle P_{9}=b_1\cdot (b_1\cdot q)\cdot (b_1\cdot q^2)\cdot \ldots\cdot (b_1\cdot q^8){ \small .}\)

Перемножим отдельно \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{ \small .} \) Тогда

\(\displaystyle P_{9}=\underbrace{b_1 \cdot b_1 \cdot ... \cdot b_1}_{9 \text{ раз}}\cdot (q\cdot q^2\cdot \ldots\cdot q^8){ \small ,}\)

\(\displaystyle P_{9}=b_1^9\cdot q^{1+2+\ldots+8}{ \small .}\)

Посчитаем отдельно сумму

\(\displaystyle 1+2+\ldots+8{\small .} \)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned} 1+2+\ldots+8=(1+8)+&(2+7)+\ldots+ (4+5)=\\&=\underbrace{9+ 9+ \ldots+ 9}_{4\text{ раза}}=9\cdot 4=36{\small .}\end{aligned} \)

Подставляя в \(\displaystyle P_{9}{ \small ,} \) получаем:

\(\displaystyle P_{9}=b_1^9\cdot q^{36}=(b_1\cdot q^4)^9{ \small .}\)

Поскольку \(\displaystyle b_1\cdot q^4=b_{5} \) и по условию \(\displaystyle b_{5}=2{ \small ,} \) то

\(\displaystyle P_{9}=b_{5}^9=\left(\frac{1}{2}\right)^9=\frac{1}{512}{\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{512} {\small .}\)