Skip to main content

Теория: 04 Вычисления, связанные с характеристическим свойством геометрической прогрессии

Задание

Известно, что в геометрической прогрессии

\(\displaystyle b_6 \cdot b_7 = -3.\)

Найти произведение \(\displaystyle P_{12}\) первых четырнадцати членов данной прогрессии

\(\displaystyle P_{12}=\)
729
Решение

Решение 1.

Найдем произведение

\(\displaystyle P_{12}=b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_{12}{ \small ,} \)

используя характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Правило

Обобщенное характеристическое свойство геометрической прогрессии

\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n\cdot k}\)

\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n\cdot m=k\cdot l{\small .}\)

Согласно этому свойству,

\(\displaystyle b_1 \cdot b_{12} = b_2 \cdot b_{11} = ... = b_{6} \cdot b_{7} {\small .}\)

Всего таких пар будет шесть, так как в первой паре есть первый элемент, во второй - второй, и т.д., а в последней - шестой. 

Выделим эти пары в исходном произведении \(\displaystyle P_{12}{\small .} \)

Получаем:

\(\displaystyle P_{12} = b_1 \cdot b_2 \cdot ... \cdot b_{12} { \small ,}\)

\(\displaystyle P_{12} = (b_1 \cdot b_{12})\cdot (b_2 \cdot b_{11})\cdot \ldots\cdot (b_{6} \cdot b_{7}) { \small ,}\)

\(\displaystyle P_{12} = \underbrace{(b_{6} \cdot b_{7})\cdot (b_{6} \cdot b_{7})\cdot \ldots\cdot (b_{6} \cdot b_{7})}_{6 \text{ раз}} { \small ,}\)

\(\displaystyle P_{12} =(b_{6}\cdot b_{7})^6{ \small .}\)

Так как по условию \(\displaystyle b_{6}\cdot b_{7}=-3{ \small ,} \) то

\(\displaystyle P_{12} = (-3)^6{ \small ,}\)

\(\displaystyle P_{12} = 729{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 729{\small .}\)


Решение 2.

Выразим произведение

\(\displaystyle P_{12}=b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_{12} \)

через \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{\small .} \)

Поскольку

\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q{ \small ,}\quad b_3=b_1\cdot q^2{ \small ,}\quad \ldots{ \small ,}\quad b_{12}=b_1\cdot q^{11}{ \small ,} \)

то получаем:

\(\displaystyle P_{12}=b_1\cdot (b_1\cdot q)\cdot (b_1\cdot q^2)\cdot \ldots\cdot (b_1\cdot q^{11}){ \small .}\)

Перемножим отдельно \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{ \small .} \) Тогда

\(\displaystyle P_{12}=\underbrace{b_1 \cdot b_1 \cdot ... \cdot b_1}_{12 \text{ раз}}\cdot (q\cdot q^2\cdot \ldots\cdot q^{11}){ \small ,}\)

\(\displaystyle P_{12}=b_1^{12}\cdot q^{1+2+\ldots+11}{ \small .}\)

Посчитаем отдельно сумму

\(\displaystyle 1+2+\ldots+11{\small .} \)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned} 1+2+\ldots+11=(1+11)+&(2+ 10)+\ldots + (5+7)+6=\\&=\underbrace{12+12+\ldots+12}_{5\text{ раз}}+6=5\cdot 12+6=66{\small .}\end{aligned} \)

Подставляя в \(\displaystyle P_{12}{ \small ,} \) получаем:

\(\displaystyle P_{12}=b_1^{12}\cdot q^{66}=(b_1^2\cdot q^{11})^6{ \small .}\)

Поскольку \(\displaystyle b_{6}\cdot b_{7}=(b_1\cdot q^5)\cdot (b_1\cdot q^6)=b_1^2\cdot q^{11} \) и по условию \(\displaystyle b_{6}\cdot b_{7}=-3{ \small ,} \) то

\(\displaystyle P_{12}=(-3)^6=729{\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle 729{\small .}\)