Skip to main content

Теория: 01 Куб (в стадии наполнения)

Задание

Диагональ куба равна \(\displaystyle 2\sqrt{ 3} {\small .} \) Найдите площадь его поверхности.

24
Решение

Обозначим ребро куба через \(\displaystyle a{\small .} \)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC{\small .} \) Поскольку \(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \) – куб, то \(\displaystyle \triangle ABC \) – прямоугольный и \(\displaystyle \angle ABC=90^\circ{\small .} \)

При этом \(\displaystyle AB=BC=a{\small .} \)

Тогда по теореме Пифагора

\(\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2{ \small ,} \)

\(\displaystyle AC^2=a^2+a^2{ \small ,} \)

\(\displaystyle AC^2=2a^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle AC=\sqrt{ 2a^2}{ \small ,} \)

\(\displaystyle AC=a\sqrt{ 2}{\small .} \)


Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ACC_1{\small .} \) Поскольку \(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \) – куб, то \(\displaystyle \triangle ACC_1 \) также прямоугольный.

При этом \(\displaystyle AC=a\sqrt{ 2}{ \small ,}\, CC_1=a{ \small ,}\, AC_1=2\sqrt{3} {\small .} \)

Тогда по теореме Пифагора получаем:

\(\displaystyle AC_1^2=AC^2+CC_1^2{ \small ,} \)

\(\displaystyle \left(2\sqrt{ 3}\right)^2 =\left(a\sqrt{ 2}\right)^2+a^2{ \small ,} \)

\(\displaystyle 12=2a^2+a^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle 12=3a^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle a^2=4{ \small ,} \)

\(\displaystyle a=2 \) или \(\displaystyle a=-2{\small .} \)

Поскольку \(\displaystyle a \) – длина ребра куба, то \(\displaystyle a>0{\small .} \) Значит, \(\displaystyle a=2{ \small .} \)


Теперь, используя формулу, найдем площадь поверхности куба.

Правило

Площадь поверхности куба

Площадь поверхности куба \(\displaystyle S \) равна

\(\displaystyle S=6a^2{ \small ,} \)

где \(\displaystyle a \) – длина ребра куба.

Получаем:

\(\displaystyle S=6a^2{ \small ,} \)

\(\displaystyle S=6\cdot 2^2{ \small ,} \)

\(\displaystyle S=24{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle 24{\small .} \)