Skip to main content

Теория: 01 Куб (в стадии наполнения)

Задание

Площадь поверхности первого куба в \(\displaystyle 4 \) раза больше площади поверхности второго куба. Во сколько раз объем первого куба больше объема второго?

8
раз
Решение

Обозначим ребро первого куба через \(\displaystyle a{\small ,} \) площадь поверхности первого куба через \(\displaystyle S{\small .} \)

Точно так же обозначим ребро второго куба через \(\displaystyle a_1{\small ,} \) площадь поверхности второго куба через \(\displaystyle S_1{\small .} \)

Тогда площади поверхности кубов равны

\(\displaystyle S=6a^2\) и \(\displaystyle S_1=6a_1^2{\small .} \)

Поскольку площадь поверхности первого куба в \(\displaystyle 4\) раза больше площади поверхности второго куба, то это означает, что

\(\displaystyle \frac{ S}{ S_1 }= \frac{ 6a^2}{6a_1^2 }=\frac{ a^2}{a_1^2 }=4{\small .} \)

Отсюда

\(\displaystyle a^2=4a_1^2{ \small ,} \)

\(\displaystyle a=\sqrt{ 4a_1^2}\) или \(\displaystyle a=-\sqrt{ 4a_1^2} { \small ,} \)

\(\displaystyle a=2a_1\) или \(\displaystyle a=-2a_1{\small .} \)

Поскольку \(\displaystyle a>0 \) и \(\displaystyle a_1>0{ \small ,} \) то это означает, что \(\displaystyle a=2a_1{\small .} \)


Найдем отношение объемов этих кубов.

Объемы кубов равны

\(\displaystyle V=a^3 \) и \(\displaystyle V_1=a_1^3{ \small ,} \)

где \(\displaystyle V\) и \(\displaystyle V_1 \) – объемы первого и второго кубов соответственно.

Тогда отношение объемов равно

\(\displaystyle \frac{ V}{ V_1 }= \frac{ a^3}{ a_1^3 }{ \small ,} \)

Значит, поскольку \(\displaystyle a=2a_1{ \small ,} \) то

\(\displaystyle \frac{ V}{ V_1 }= \frac{ (2a_1)^3}{ a_1^3}= \frac{ 8a_1^3}{ a_1^3}= 8{\small ,}\)

откуда \(\displaystyle V=8V_1{\small .} \)

Таким образом, объем первого куба в \(\displaystyle 8\) раз больше объема второго куба.

Ответ: в \(\displaystyle 8\) раз.