Skip to main content

Теория: Решение квадратичных неравенств методом интервалов (в стадии наполнения)

Задание

Используя метод интервалов, решите неравенство

\(\displaystyle x^2-5x>-6{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:

\(\displaystyle x^2-5x>-6{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2-5x+6>0{\small .}\)

Далее найдем все корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-5x+6=0{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=2\) и \(\displaystyle x_2=3\) корни уравнения \(\displaystyle x^2-5x+6=0\)

Отметим найденные корни на числовой прямой, выкалывая их (так как знак неравенства строгий):

Получаем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;2){ \small ,} \, (2;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=x^2-5x+6\) в каждом из данных интервалов.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;2)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;2){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=0{ \small :}\)

\(\displaystyle f(0)=0^2-5\cdot 0+6>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;2){\small :}\)

Для интервала \(\displaystyle (2;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}5 \in (2;3){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=2{,}5 { \small :}\)

\(\displaystyle f(2{,}5)=2{,}5^2-5\cdot 2{,}5 +6=6{,}25-12{,}5+6<0{\small .}\)

Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (2;3){\small :}\)

Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4 \in (3;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=4 { \small :}\)

\(\displaystyle f(4)=4^2-5\cdot 4 +6=16-20+6>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small :}\)

Так как решения неравенства  \(\displaystyle x^2-5x+6>0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2-5x+6\) положительна, то

\(\displaystyle (-\infty;2) \cup(3;+\infty)\) – искомое решение.

Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;2) \cup(3;+\infty){\small .}\)