Skip to main content

Теория: 05 Сумма арифметической прогрессии

Задание

Найдите сумму:

\(\displaystyle 1+3+5+\ldots+21=\)

Решение

Обозначим искомую сумму через \(\displaystyle S{\small .} \)

Для того чтобы найти сумму \(\displaystyle S=1+3+5+\ldots+21{ \small ,}\) перепишем эту же сумму, но в обратном порядке:

\(\displaystyle S=21+\ldots+5+3+1{\small .}\)

Сложим их:

\(\displaystyle +\)\(\displaystyle S\)\(\displaystyle =\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle +\)\(\displaystyle 3\)\(\displaystyle +\)\(\displaystyle 5\)\(\displaystyle +\ldots+\)\(\displaystyle 21\)
\(\displaystyle S\)\(\displaystyle =\)\(\displaystyle 21\)\(\displaystyle +\)\(\displaystyle 19\)\(\displaystyle +\)\(\displaystyle 17\)\(\displaystyle +\ldots+\)\(\displaystyle 1\)
 \(\displaystyle 2\cdot S\)\(\displaystyle =\)\(\displaystyle 22\)\(\displaystyle +\)\(\displaystyle 22\)\(\displaystyle +\)\(\displaystyle 22\)\(\displaystyle +\ldots+\)\(\displaystyle 22\)

Перепишем получившееся:

\(\displaystyle \begin{aligned} 2\cdot S&=\underbrace{(1+21)+(3+19)+(5+17)+\ldots+(21+1)}_{11\, раз}=\\&=\underbrace{22+22+22+\ldots+22}_{11\, раз}=(1+21)\cdot 11{\small ,}\end{aligned}\)

Таким образом, получили, что

\(\displaystyle S=\frac{(1+21)\cdot 11}{2}=121{\small .}\)

То есть

\(\displaystyle \underbrace{\color{blue}{1}+3+5+\ldots+\color{green}{21}}_{11\, членов\, прогрессии}=\frac{(\color{blue}{1}+\color{green}{21})\cdot 11}{2}=121{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 121{\small .} \)


Замечание / комментарий

Число элементов в сумме \(\displaystyle S=1+3+5+\ldots+21\) можно посчитать следующим образом.

Заметим, что элементы \(\displaystyle 1{ \small ,}\,3{ \small ,}\,5{ \small ,}\,\ldots{ \small ,}\,21 \) образуют арифметическую прогрессию.

В ней \(\displaystyle a_1=1{ \small ,} \) а знаменатель \(\displaystyle d \) равен

\(\displaystyle d=3-1=2{\small .} \)

Тогда формула n-го элемента для этой прогрессии выглядит следующим образом:

\(\displaystyle a_n= 1+2\cdot (n-1){\small ,}\)

\(\displaystyle a_n= 2n-1{\small .}\)

Найдем, какой номер число \(\displaystyle 21 \) имеет в прогрессии:

\(\displaystyle 21=2n-1{ \small ,} \)

\(\displaystyle 2n=22{ \small ,} \)

\(\displaystyle n=11{\small .} \)

Значит, всего в арифметической прогрессии  \(\displaystyle 1{ \small ,}\,3{ \small ,}\,5{ \small ,}\,\ldots{ \small ,}\,21 \) имеется \(\displaystyle 11 \) элементов.