Skip to main content

Теория: 02 Использование формулы n-го члена геометрической прогрессии

Задание

Известно, что в геометрической прогрессии

\(\displaystyle b_{10} = 3{ \small ,}\, b_{20} = 15{\small .}\)

Найдите тридцатый член данной прогрессии \(\displaystyle b_{30}{\small .}\)

\(\displaystyle b_{30}=\)
75
Решение

Воспользуемся формулой для n-го члена геометрической прогрессии

Правило

Формула \(\displaystyle n \)-го члена геометрической прогрессии

\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=b_1\cdot q^{\color{red}{ n}-1}{ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.

и запишем \(\displaystyle b_{10} \) и \(\displaystyle b_{20}{\small : } \)

\(\displaystyle b_{10} = b_1 \cdot q^{9}\) и \(\displaystyle b_{20} = b_1 \cdot q^{19}{\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle b_{10}=3\) и \(\displaystyle b_{20}= 5{ \small ,} \) то, подставляя, получаем систему линейных уравнений: 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} b_1 \cdot q^{9}&=3{ \small ,}\\b_1 \cdot q^{19}&= 15{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим ее методом подстановки.

Выразим из первого уравнения \(\displaystyle b_1{\small : } \)

\(\displaystyle b_1=\frac{ 3}{ q^{9} }{\small .} \)

Подставляя во второе уравнение, получаем:

\(\displaystyle \frac{ 3}{ q^{9} } \cdot q^{19}= 5{ \small ,}\)

\(\displaystyle q^{10}= 5{ \small ,}\)

\(\displaystyle q=\sqrt[10]{5}\) или \(\displaystyle q=-\sqrt[10]{5}{\small .}\)

Вычислим значение \(\displaystyle b_{30} \) для полученных вариантов \(\displaystyle q{\small .} \)

При \(\displaystyle q=\sqrt[ 10]{5}\) получаем \(\displaystyle b_{30}=75\)

Так как \(\displaystyle b_1=\frac{ 3}{ q^{9} }{ \small ,}\) то

\(\displaystyle b_1=\frac{ 3}{ (\sqrt[10]{5})^{9} }{\small .} \)

Зная \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle b_{30}{\small : } \)

\(\displaystyle b_{30}=b_1\cdot q^{29}{ \small ,} \)

\(\displaystyle b_{30}=\frac{ 3}{ (\sqrt[10]{5})^{9} }\cdot (\sqrt[10]{5})^{29}{ \small ,}\)

\(\displaystyle b_{30}=\frac{ 3\cdot (\sqrt[10]{5})^{29}}{ (\sqrt[10]{5})^{9} }{ \small ,}\)

\(\displaystyle b_{30}=3\cdot (\sqrt[10]{5})^{29-9}{\small ,} \)

\(\displaystyle b_{30}=3\cdot (\sqrt[10]{5})^{20}{\small ,} \)

\(\displaystyle b_{30}=3\cdot ((\sqrt[10]{5})^{10})^2{\small ,} \)

\(\displaystyle b_{30}=3\cdot 5^2{\small ,} \)

\(\displaystyle b_{30}=75{\small .} \)

При \(\displaystyle q=-\sqrt[ 10]{5}\) получаем \(\displaystyle b_{30}=75\)

Так как \(\displaystyle b_1=\frac{ 3}{ q^{9} }{ \small ,}\) то

\(\displaystyle b_1=\frac{ 3}{ (-\sqrt[10]{5})^{9} }{\small .} \)

Зная \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle b_{30}{\small : } \)

\(\displaystyle b_{30}=b_1\cdot q^{29}{ \small ,} \)

\(\displaystyle b_{30}=\frac{ 3}{ (-\sqrt[10]{5})^{9} }\cdot (-\sqrt[10]{5})^{29}{ \small ,}\)

\(\displaystyle b_{30}=\frac{ 3\cdot (-\sqrt[10]{5})^{29}}{ (-\sqrt[10]{5})^{9} }{ \small ,}\)

\(\displaystyle b_{30}=3\cdot (-\sqrt[10]{5})^{29-9}{\small ,} \)

\(\displaystyle b_{30}=3\cdot (-\sqrt[10]{5})^{20}{\small ,} \)

\(\displaystyle b_{30}=3\cdot ((-\sqrt[10]{5})^{10})^2{\small ,} \)

\(\displaystyle b_{30}=3\cdot 5^2{\small ,} \)

\(\displaystyle b_{30}=75{\small .} \)

Таким образом, в обоих случаях ответ будет одним и тем же – \(\displaystyle b_{30}=75{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle 75{\small .}\)

Замечание / комментарий

Данную задачу можно решить другим, более коротким способом.

Заметим, что \(\displaystyle b_{20}=b_{10}\cdot q^{10}{\small ,} \) откуда

\(\displaystyle q^{10}=\frac{ b_{20}}{ b_{10} }=\frac{ 15}{ 3}=5{\small .} \)

Поскольку \(\displaystyle b_{30}=b_{20}\cdot q^{10} \) и \(\displaystyle b_{20}=15{ \small ,} \)то получаем:

\(\displaystyle b_{30}=b_{20}\cdot q^{10}{\small ,} \)

\(\displaystyle b_{30}=15\cdot 5=75{\small .} \)