Skip to main content

Теория: 02 Числовые выражения (корень n-ой степени, степень с рациональным и иррациональным показателем)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle 2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}:8^{\sqrt{12}}=\)

Решение

Перепишем выражение в виде дроби:

\(\displaystyle2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}:8^{\sqrt{12}}=\frac{2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}}{8^{\sqrt{12}}} {\small.}\)

Сведем степени к одинаковым основаниям. Для этого представим\(\displaystyle 8\) как \(\displaystyle 2^3\):

\(\displaystyle\frac{2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}}{\color{blue}{8}^{\sqrt{12}}}=\frac{2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}}{\left(\color{blue}{2^3}\right)^{\sqrt{12}}}{\small.}\)

Раскроем скобки. По правилу степени в степени показатели этих степеней перемножаются:

\(\displaystyle\frac{2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}}{\left(2^\color{blue}{ 3}\right)^{\color{green}{\sqrt{12}}}}=\frac{2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}}{2^{\color{blue}{ 3} \cdot \color{green}{\sqrt{12}}}}=\frac{2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}}{2^{ 3\sqrt{12}}}{\small.}\)

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. А при делении вычитаются.

Значит,

\(\displaystyle\frac{2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}}{2^{ 3\sqrt{12}}}=\frac{2^{(4\sqrt{12}-2)+(3-\sqrt{12})}}{2^{ 3\sqrt{12}}}=2^{(4\sqrt{12}-2)+(3-\sqrt{12})-3\sqrt{12}}{\small.}\)

Сложим выражения в показателе степени:

\(\displaystyle2^{(4\sqrt{12}-2)+(3-\sqrt{12})-3\sqrt{12}}=2^{4\sqrt{12}-2+3-\sqrt{12}-3\sqrt{12}}=2^{1}=2{\small.}\)
 

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}:8^{\sqrt{12}}&=\frac{2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}}{8^{\sqrt{12}}}=\frac{2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}}{\left(2^3\right)^{\sqrt{12}}}=\\[10px]&=\frac{2^{4\sqrt{12}-2}\cdot 2^{3-\sqrt{12}}}{2^{ 3\sqrt{12}}}=2^{(4\sqrt{12}-2)+(3-\sqrt{12})-3\sqrt{12}}=2^{1}=2{\small.}\end{aligned}\)
 

Ответ:\(\displaystyle 2{\small.}\)