Skip to main content

Теория: 02 Числовые выражения (корень n-ой степени, степень с рациональным и иррациональным показателем)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \frac{{\sqrt[5]{12}\cdot \sqrt[5]{8}}}{\sqrt[5]{3}}=\)

Решение

Решение 1.

Представим корни в виде степеней с рациональными показателями:

\(\displaystyle\frac{{{\sqrt[5]{{12}}}\cdot {\sqrt[5]{{8}}}}}{\sqrt[5]{3}}=\frac{12^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}{\small.}\)

Сведем степени к одинаковым основаниям. Для этого разложим основания степеней на простые множители:

\(\displaystyle 12 = 2^{2}\cdot3 \) и \(\displaystyle 8= 2^{3} {\small.} \)

Перепишем выражение, используя полученные равенства:

\(\displaystyle \frac{\color{green}{12}^{\frac{1}{5}} \cdot \color{blue}{8}^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}=\frac{(\color{green}{2^{2}\cdot3})^{\frac{1}{5}} \cdot \left(\color{blue}{2^{3}}\right)^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}{\small.}\)

Раскроем скобки. Так как при раскрытии скобок показатели степеней перемножаются, то получаем:

\(\displaystyle \frac{(2^{2}\cdot3)^{\color{blue}{\frac{1}{5}}} \cdot \left(2^{3}\right)^{\color{green}{\frac{1}{5}}}}{3^{\frac{1}{5}}}=\frac{(2^2 \cdot 3^1)^{\color{blue}{\frac{1}{5}}} \cdot \left(2^{3}\right)^{\color{green}{\frac{1}{5}}}}{3^{\frac{1}{5}}}=\frac{2^{2\cdot \color{blue}{\frac{1}{5}}} \cdot 3^{1\cdot \color{blue}{ \frac{1}{5}}} \cdot 2^{3\cdot \color{green}{ \frac{1}{5}}}}{3^{\frac{1}{5}}}=\frac{2^{\color{blue}{\frac{2}{5}}} \cdot 3^{\color{blue}{\frac{1}{5}}} \cdot 2^{\color{green}{ \frac{3}{5}}}}{3^{\frac{1}{5}}}{\small.}\)

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней складываются. А при делении вычитаются. Значит,

\(\displaystyle \frac{2^{\color{green}{\frac{2}{5}}} \cdot 3^{\color{blue}{\frac{1}{5}}} \cdot 2^{ {\color{green}{\frac{3}{5}}}}}{3^{\color{blue}{\frac{1}{5}}}}=2^{\color{green}{\frac{2}{5}}+\color{green}{\frac{3}{5}}} \cdot 3^{\color{blue}{\frac{1}{5}}-\color{blue}{\frac{1}{5}}}=2^{1} \cdot 3^{0}=2{\small.}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{{{\sqrt[5]{{12}}}\cdot {\sqrt[5]{{8}}}}}{\sqrt[5]{3}}&=\frac{12^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}=\frac{({2^{2} \cdot 3})^{\frac{1}{5}} \cdot \left({2^{3}}\right)^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}=\frac{2^{{\frac{2}{5}}} \cdot 3^{{\frac{1}{5}}} \cdot 2^{\frac{3}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}=\\[10px]&=2^{{\frac{2}{5}}+{\frac{3}{5}}} \cdot 3^{{\frac{1}{5}}-{\frac{1}{5}}}=2^{1} \cdot 3^{0}=2{\small.}\end{aligned}\)

Ответ: \(\displaystyle 2 {\small.} \)
 

Решение 2.

Произведение корней одной степени равно корню из произведения их подкоренных выражений.

То есть

\(\displaystyle\frac{{\color{blue}{\sqrt[\color{black}{5}]{\color{black}{12}}}\cdot \color{blue}{\sqrt[\color{black}{5}]{\color{black}{8}}}}}{\sqrt[5]{3}}=\frac{{\color{blue}{\sqrt[\color{black}{5}]{\color{black}{12 \cdot 8}}}}}{\sqrt[5]{3}}{\small.}\)

А отношение двух корней одной степени равно корню из отношения их подкоренных выражений.

Значит,

\(\displaystyle\frac{{\color{blue}{\sqrt[\color{black}{5}]{\color{black}{12 \cdot 8}}}}}{\color{blue}{\sqrt[\color{black}{5}]{\color{black}{3}}}}=\color{blue}{\sqrt[\color{black}{5}]\frac{{{\color{black}{12 \cdot 8}}}}{\color{blue}{{\color{black}{3}}}}}{\small.}\)

Упростим подкоренное выражение. Сокращая числитель и знаменатель на \(\displaystyle 3,\) получаем:

\(\displaystyle\sqrt[5]{\frac{12 \cdot 8}{3}}=\sqrt[5]{4\cdot 8}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle 4=2^2{,}\) а \(\displaystyle 8=2^{3}{\small,}\) то:

\(\displaystyle\sqrt[5]{4\cdot 8}=\sqrt[5]{2^2\cdot 2^{3}}=\sqrt[5]{2^5}=2{\small.}\)
 

Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle\frac{{{\sqrt[5]{{12}}}\cdot {\sqrt[5]{{8}}}}}{\sqrt[5]{3}}=\frac{{{\sqrt[5]{{12 \cdot 8}}}}}{\sqrt[5]{3}}={\sqrt[5]\frac{12 \cdot 8}{3}}=\sqrt[5]{4\cdot 8}=\sqrt[5]{2^2 \cdot 2^3}=\sqrt[5]{2^5}=2{\small.}\)
 

Ответ: \(\displaystyle 2{\small.} \)