Skip to main content

Теория: 02 Числовые выражения (корень n-ой степени, степень с рациональным и иррациональным показателем)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle 1{,}8^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\)

Решение

Решение 1.

Представим \(\displaystyle 1{,}8\) в виде обыкновенной дроби:

\(\displaystyle1{,}8=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}{\small.}\)

Подставим в исходное выражение вместо \(\displaystyle 1{,}8\) дробь \(\displaystyle \frac{9}{5}{\small:} \)

\(\displaystyle\color{blue}{1{,}8}^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\left(\color{blue}{\frac{9}{5}}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}{\small.}\)

Сведем степени к одинаковым основаниям. Для этого разложим основания на простые множители:

\(\displaystyle 9=3^2 \) и \(\displaystyle 45=3^2\cdot 5{\small .}\)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle\left(\color{green}{\frac{9}{5}}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\left(\color{green}{\frac{3^2}{5}}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (\color{blue}{3^2 \cdot 5})^{\frac{6}{7}}{\small.}\)

При возведении в степень дроби ее числитель и знаменатель возводятся в эту степень. То есть

\(\displaystyle\left(\frac{3^2}{5}\right)^{\color{blue}{\frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (3^2 \cdot 5)^{\frac{6}{7}}=\frac{\left(3^2\right)^{\color{blue}{\frac{1}{7}}}}{5^{\color{blue}{\frac{1}{7}}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (3^2 \cdot 5)^{\frac{6}{7}}=\frac{\left(3^2\right)^{{\frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (3^2 \cdot 5)^{\frac{6}{7}}}{5^{{\frac{1}{7}}}}{\small.}\)

Раскроем скобки. Поскольку при возведении в степень показатели степеней перемножаются, то получаем:

\(\displaystyle\frac{\left(3^2\right)^{\color{blue}{ \frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (3^2 \cdot 5)^{\color{green}{ \frac{6}{7}}}}{5^{{\frac{1}{7}}}}=\frac{3^{2\cdot \color{blue}{ \frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{2\cdot {\color{green}{ \frac{6}{7}}}} \cdot 5^{\color{green}{ \frac{6}{7}}}}{5^{{\frac{1}{7}}}}=\frac{3^{\color{blue}{ \frac{2}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{{\color{green}{ \frac{12}{7}}}} \cdot 5^{\color{green}{ \frac{6}{7}}}}{5^{{\frac{1}{7}}}}{\small.}\)

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней складываются. А при делении вычитаются. Значит,

\(\displaystyle\frac{3^{\color{blue}{\frac{2}{7}}} \cdot 5^{\color{green}{\frac{2}{7}}} \cdot 3^{\color{blue}{\frac{12}{7}}} \cdot 5^{\color{green}{\frac{6}{7}}}}{5^{\color{green}{\frac{1}{7}}}}=3^{\color{blue}{\frac{2}{7}+\frac{12}{7}}}\cdot5^{\color{green}{\frac{2}{7}+\frac{6}{7}-\frac{1}{7}}}=3^2 \cdot 5^1 =45{\small.}\)
 

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}1{,}8^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}&=\left(\frac{9}{5}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\left(\frac{3^2}{5}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (3^2 \cdot 5)^{\frac{6}{7}}=\frac{\left(3^2\right)^{{\frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (3^2 \cdot 5)^{\frac{6}{7}}}{5^{{\frac{1}{7}}}}=\\[10px]&=\frac{3^{\frac{2}{7}}\cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{12}{7}} \cdot 5^{{\frac{6}{7}}}}{5^{\frac{1}{7}}}=3^{{\frac{2}{7}+\frac{12}{7}}}\cdot5^{{\frac{2}{7}+\frac{6}{7}-\frac{1}{7}}}=3^2 \cdot 5^1 =45{\small.}\end{aligned}\)
 

Ответ: \(\displaystyle 45{\small.}\)


Решение 2.

Представим \(\displaystyle 1{,}8\) в виде обыкновенной дроби:

\(\displaystyle1{,}8=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}{\small.}\)

Подставим в исходное выражение вместо \(\displaystyle 1{,}8\) дробь \(\displaystyle \frac{9}{5}{\small:} \)

\(\displaystyle\color{blue}{1{,}8}^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\left(\color{blue}{\frac{9}{5}}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}{\small.}\)

Раскроем скобки. При возведении дроби в степень ее числитель и знаменатель возводятся в эту же степень. То есть

\(\displaystyle\left(\frac{9}{5}\right)^{\color{blue}{\frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\frac{9^{\color{blue}{\frac{1}{7}}}}{5^{\color{blue}{\frac{1}{7}}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}{\small.}\)

Сведем все степени к одинаковым основаниям. Для этого представим \(\displaystyle 45\) как \(\displaystyle 9 \cdot 5{\small:} \)

\(\displaystyle\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot \color{blue}{ 45}^{\frac{6}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}=\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (\color{blue}{9 \cdot 5})^{\frac{6}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}{\small.}\)

Раскроем скобки. При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Получаем:

\(\displaystyle\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (9 \cdot 5)^{\color{blue}{\frac{6}{7}}}}{5^{\frac{1}{7}}}=\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 9^{\color{blue}{\frac{6}{7}}} \cdot 5^{\color{blue}{\frac{6}{7}}}}{5^{\frac{1}{7}}}{\small.}\)

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются. А при делении вычитаются. Значит,

\(\displaystyle\frac{9^{\color{blue}{\frac{1}{7}}} \cdot 5^{\color{green}{\frac{2}{7}}} \cdot 9^{\color{blue}{\frac{6}{7}}} \cdot 5^{\color{green}{\frac{6}{7}}}}{5^{\color{green}{\frac{1}{7}}}}=9^{\color{blue}{\frac{1}{7}+\frac{6}{7}}}\cdot5^{\color{green}{\frac{2}{7}+\frac{6}{7}-\frac{1}{7}}}=9^1 \cdot 5^1 =45{\small.}\)
 

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}1{,}8^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}} &=\left(\frac{9}{5}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\frac{9^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}=\\[10px]&=\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (9 \cdot 5)^{\frac{6}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}} =\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 9^{\frac{6}{7}} \cdot 5^{\frac{6}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}=9^{{\frac{1}{7}+\frac{6}{7}}}\cdot5^{{\frac{2}{7}+\frac{6}{7}-\frac{1}{7}}}=45{\small.}\end{aligned}\)
 

Ответ: \(\displaystyle 45{\small.}\)
 

Решение 3.

Упростим исходное выражение. Вынося \(\displaystyle \frac{1}{7}\) из показателя степеней за скобки, получаем:

\(\displaystyle1{,}8^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\left(1{,}8^{1} \cdot 5^{2} \cdot 45^{6}\right)^{\frac{1}{7}}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle 1{,}8 \cdot 5^2 = 1{,}8 \cdot 25 = 45{\small,} \) то

\(\displaystyle\left(\color{blue}{ 1{,}8 \cdot 5^{2}} \cdot 45^{6}\right)^{\frac{1}{7}}=\left( \color{blue}{45} \cdot 45^{6}\right)^{\frac{1}{7}}=\left(45^{7}\right)^{\frac{1}{7}}{\small.}\)

Раскрываем скобки. По правилу степени в степени показатели этих степеней перемножаются:

\(\displaystyle\left(45^{\color{green}{7}}\right)^{\color{blue}{\frac{1}{7}}}=45^{\color{green}{7} \cdot \color{blue}{\frac{1}{7}}}=45^1=45{\small.}\)
 

Таким образом, верна цепочка равенств:

\(\displaystyle1{,}8^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\left(1{,}8 \cdot 5^{2} \cdot 45^{6}\right)^{\frac{1}{7}}=\left(45 \cdot 45^{6}\right)^{\frac{1}{7}}=45^{7 \cdot \frac{1}{7}}=45^1=45{\small.}\)
 

Ответ: \(\displaystyle 45{\small.}\)