Skip to main content

Теория: 01 Рациональные функции в прикладных задачах

Задание

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(\displaystyle f_0 = 440\) Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. 
Из-за эффекта Доплера частота второго гудка \(\displaystyle f\) больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону \(\displaystyle f(v) = \frac{{f_0 }}{{1 - \dfrac{v}{c}}}\) (Гц), где \(\displaystyle c\) – скорость звука (в м/с).

Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на \(\displaystyle 10\) Гц. 
Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(\displaystyle c = 315\) м/с. Ответ дайте в м/с.

7
Решение

По условию дана частота первого гудка \(\displaystyle \color{blue}{f_0}\) и скорость звука \(\displaystyle \color{green}{ c}{\small.}\)

Подставим данные значения в формулу для частоты второго гудка

\(\displaystyle f(v) = \frac{\color{blue}{f_0 }}{{1 - \dfrac{v}{\color{green}c}}}{\small.}\)

Поскольку \(\displaystyle \color{blue}{ f_0 }=\color{blue}{ 440}\) и \(\displaystyle \color{green}{ c}=\color{green}{ 315}{\small,}\) то получаем:

\(\displaystyle f(v) = \frac{\color{blue}{440 }}{{1 - \dfrac{v}{\color{green}{315}}}}{\small.}\)


По условию частота второго гудка должна быть не менее, чем на \(\displaystyle 10\) больше частоты первого. Значит, должно выполняться ограничение \(\displaystyle f(v) \geq 450 {\small.}\)

То есть выполняется неравенство

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{440 }}{{1 - \dfrac{v}{\color{green}{315}}}} \geq 450{\small.}\)


Решим это неравенство.

Домножим обе части неравенства на знаменатель. Так как \(\displaystyle {1 - \dfrac{v}{315}}>0{\small,}\) то знак неравенства сохраняется без изменений. Получаем:

\(\displaystyle \frac{440}{1 - \dfrac{v}{315}} \geq 450 \,|\, \cdot \left(\color{red}{ 1 - \dfrac{v}{315}}\right)\)

\(\displaystyle {440} \geq 450 \cdot \left({1 - \dfrac{v}{315}}\right) {\small,}\)

\(\displaystyle {440} \geq 450 - \dfrac{450v}{315} {\small.}\)

Перенесем выражение с неизвестной в левую часть неравенства, а \(\displaystyle {440}\) – в правую. Получаем:

\(\displaystyle \dfrac{450v}{315} \geq 450 - {440} {\small,}\)

\(\displaystyle \dfrac{450v}{315} \geq 10{\small,}\)

\(\displaystyle \dfrac{10v}{7} \geq 10 \,|\, \cdot \color{red}{\frac{7}{10} }{\small,}\)

\(\displaystyle v \geq 7{\small.}\)

Тогда наименьшее значение скорости составляет \(\displaystyle 7 \)  м/с.

Ответ: \(\displaystyle 7 \)  м/с.