Skip to main content

Теория: 04 Проценты

Задание

Клиент \(\displaystyle А\) сделал вклад в банке в размере \(\displaystyle 7700\) рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент \(\displaystyle Б.\) Еще ровно через год клиенты \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle Б\) закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент \(\displaystyle А\) получил на \(\displaystyle 847\) рублей больше клиента \(\displaystyle Б.\) Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

10
\(\displaystyle \%\)
Решение

Пусть банк начислял \(\displaystyle n\%\) годовых. Тогда к сумме в \(\displaystyle a\) рублей через год добавится

\(\displaystyle \frac{a}{100}\cdot n\) рублей.

Следовательно, в конце года на счету будет

\(\displaystyle a+\frac{a}{100}\cdot n=a(1+\frac{1}{100}\cdot n)=a\cdot \frac{100+n}{100}\) рублей.

Для удобства обозначим за \(\displaystyle x=\frac{100+n}{100}{\small .}\)


Клиент \(\displaystyle А\) сделал вклад в банке в размере \(\displaystyle 7700\) рублей.

Тогда по окончанию первого года на счету будет

\(\displaystyle 7700\cdot x\) рублей.

По окончанию второго года на счету будет

\(\displaystyle \color{blue}{7700\cdot x\cdot x}\) рублей.

Клиент \(\displaystyle Б\) сделал вклад в банке в размере \(\displaystyle 7700\) рублей. Тогда по окончанию первого года на счету будет

\(\displaystyle \color{green}{7700\cdot x}\) рублей.


При этом клиент \(\displaystyle А\) получил на \(\displaystyle 847\) рублей больше клиента \(\displaystyle Б,\) то есть

\(\displaystyle \color{blue}{7700\cdot x\cdot x}-\color{green}{7700\cdot x}=847{\small .}\)

Получаем уравнение на переменную \(\displaystyle x:\)

\(\displaystyle 7700x^2-7700x-847=0{\small .}\)


Решим квадратное уравнение.

Сократим уравнение сначала на \(\displaystyle 7{ \small ,} \) затем на \(\displaystyle 11{\small .} \) Получаем:

\(\displaystyle 7700x^2-7700x-847=0 \,| :\color{red}{ 7}\)

\(\displaystyle 1100x^2-1100x-121=0 \,| :\color{red}{ 11}\)

\(\displaystyle 100x^2-100x-11=0{\small .} \)

Дискриминант равен

\(\displaystyle {\rm D}= 100^2-4\cdot 100\cdot (-11)=100(100+4\cdot 11)=100\cdot 144=10^2\cdot 12^2=120^2{\small .}\)

 Тогда корни равны

\(\displaystyle x_1=\frac{ 100-120}{ 200 }=-\frac{1}{10}\) или \(\displaystyle x_2=\frac{ 100+120}{ 200 }=\frac{11}{10}{\small .}\)


Так как значение \(\displaystyle x\) не может быть отрицательным, то \(\displaystyle x=\frac{11}{10}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \frac{11}{10}=\frac{100+n}{100}\)

 Умножая обе части уравнения на \(\displaystyle 100{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle 110=100+n{ \small ,}\)

\(\displaystyle n=10{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle 10\%{\small .}\)