На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: \(\displaystyle F_{\rm{A}} = \alpha \rho gr^3{\small,}\) где \(\displaystyle \alpha = 4{,}2\) – постоянная, \(\displaystyle r\) – радиус аппарата в метрах, \(\displaystyle \rho = 1000 \) кг/м3 – плотность воды, а \(\displaystyle g\) – ускорение свободного падения (считайте \(\displaystyle g = 10\) Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем \(\displaystyle 42000\) Н? Ответ дайте в метрах.
По условию дано ускорение свободного падения \(\displaystyle \color{blue}{g}{\small,}\) плотность воды \(\displaystyle \color{green}{ \rho}\) и постоянная \(\displaystyle \color{red}{\alpha }{\small.}\)
Подставим данные значения в формулу для архимедовой силы
\(\displaystyle F_{\rm{A}} = \color{red}{\alpha } \color{green}{ \rho} \color{blue}{g} r^3{\small.}\)
Поскольку \(\displaystyle \color{blue}{g}=\color{blue}{10}{\small,}\) \(\displaystyle \color{green}{\rho}=\color{green}{ 1000}\) и \(\displaystyle \color{red}{\alpha } = \color{red}{4{,}2}{\small,}\) то получаем:
\(\displaystyle F_{\rm{A}} = \color{red}{4{,}2}\cdot \color{green}{1000}\cdot \color{blue}{10} r^3{\small,}\)
\(\displaystyle F_{\rm{A}} = {42000} r^3{\small.}\)
По условию должно выполняться ограничение \(\displaystyle F_{\rm{A}} \leq 42000{\small.}\)
Значит, выполняется неравенство
\(\displaystyle {42000} r^3 \leq 42000{\small.}\)
Решим это неравенство.
Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle 42000{\small.}\) Получаем:
\(\displaystyle {42000} r^3 \leq 42000 \,|\, : \color{red}{ 42000}\)
\(\displaystyle r^3\leq \frac{42000}{42000}{\small,}\)
\(\displaystyle r^3\leq 1{\small.}\)
Извлечем кубический корень из обеих частей неравенства. Получаем:
\(\displaystyle \sqrt[3]{r^3}\leq \sqrt[3]{1}{\small,}\)
\(\displaystyle r\leq 1{\small.}\)
Тогда наибольшее значение радиуса аппарата составляет \(\displaystyle 1 \) м.
Ответ: \(\displaystyle 1 \) м.