Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне \(\displaystyle T_n = 25 \,^{\circ}C {\small,}\) через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды \(\displaystyle m=0{,}5\) кг/с. Проходя по трубе расстояние \(\displaystyle x {\small,}\) вода охлаждается от начальной \(\displaystyle T_k=85^{\circ}\)температуры до температуры \(\displaystyle T {\small,}\) причём
\(\displaystyle x=a \cdot \frac{cm}{\gamma} \log_{2}\frac{T_k-T_n}{T-T_n} {\small,}\)
где \(\displaystyle c= 4200 \,{\small Вт\cdot c/(кг\cdot ^{\circ}С}) \)– теплоёмкость воды, \(\displaystyle \gamma ={\small 21 \,Bт/(м\cdot ^{\circ}С)}\)– коэффициент теплообмена, \(\displaystyle a = 1{,}2\)– постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна \(\displaystyle 240 \, \)м.
Сначала подставим в данную формулу
\(\displaystyle x=\color{green}{a} \cdot \frac{\color{red}{c}\color{blue}{m}}{\color{magenta}{\gamma}}\log_{2}\frac{T_k-T_n}{T-T_n}\)
известные величины \(\displaystyle \color{blue}{m} = \color{blue}{0{,}5}{\small,}\) \(\displaystyle \color{red}{c}=\color{red}{4200}{\small,}\) \(\displaystyle \color{magenta}{\gamma}=\color{magenta}{21}, \) \(\displaystyle \color{green}{a}=\color{green}{1{,}2}\):
\(\displaystyle x=\color{green}{1{,}2} \cdot \frac{\color{red}{4200}\cdot \color{blue}{0{,}5}}{\color{magenta}{21}}\log_{2}\frac{T_k-T_n}{T-T_n}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle {1{,}2} \cdot \frac{{4200}\cdot {0{,}5}}{21} = {1{,}2} \cdot \frac{{2100}}{21}={1{,}2} \cdot {100}=120{\small,}\) то
\(\displaystyle x={120}\cdot \log_{2}\frac{T_k-T_n}{T-T_n}{\small.}\)
Теперь в формулу
\(\displaystyle \color{green}{x}={120}\cdot \log_{2}\frac{\color{red}{T_k}-\color{blue}{T_n}}{T-\color{blue}{T_n}}\)
подставим известные величины \(\displaystyle \color{blue}{T_n}=\color{blue}{25}{\small,}\) \(\displaystyle \color{red}{T_к}=\color{red}{85}{\small,}\) \(\displaystyle \color{green}{x} =\color{green}{240}\):
\(\displaystyle \color{green}{240}={120}\cdot \log_{2}\frac{\color{red}{85}-\color{blue}{25}}{T-\color{blue}{25}}{\small.}\)
Преобразуем данное уравнение, отправив все числа вправо, а логарифм влево:
\(\displaystyle \log_{2}\frac{85-25}{T-25}=\frac{240}{120} {\small,}\)
\(\displaystyle \log_{2}\frac{60}{T-25}=2 {\small.}\)
Решим логарифмическое уравнение. Так как \(\displaystyle 2=\log_2 4{\small,}\) то
\(\displaystyle \log_{2}\frac{60}{T-25}=\log_{2}4{\small,}\)
\(\displaystyle \frac{60}{T-25}=4{\small,}\)
\(\displaystyle T-25=\frac{60}{4}{\small,}\)
\(\displaystyle T-25={15}{\small,}\)
\(\displaystyle T={40}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 40^{\circ} {\small.}\)